初中數學/正負數

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-a 就是和 +a 相加會等於 0 的數。

例一:以電荷為例[編輯]

定義:

  1. 一個正電加一個負電為 0 ,正電和負電會互相抵消。
  2. 放入一次為「正一次」,取出一次為「負一次」。放入與取出也會互相抵消。
  3. 增加一個正電為正,減少一個正電為負。
  4. 電容是容納電荷的東西,如地球。
⊕⊕
⊕⊕⊕
ɵɵ
ɵɵɵ

一開始電容中,正電和負電一樣多,總電荷為0。

  1. 正正得正:
    ⊕⊕
    ⊕⊕⊕
    ɵɵ
    ɵɵɵ
    ⊕←=>
    ⊕⊕⊕
    ⊕⊕⊕
    ɵɵ
    ɵɵɵ
    電容中,放入一個正電荷一次,(+1電)×(+1次),得到總電荷比原來(0)增加一個正電。
  2. 負正得負:
    ⊕⊕
    ⊕⊕⊕
    ɵɵ
    ɵɵɵ
    ɵ←=>
    ⊕⊕
    ⊕⊕⊕
    ɵɵɵ
    ɵɵɵ
    電容中,放入一個負電荷一次,(-1電)×(+1次),得到總電荷比原來(0)減少一個正電。
  3. 正負得負:
    ⊕⊕
    ⊕⊕⊕
    ɵɵ
    ɵɵɵ
    ⊕→=>
    ⊕⊕
    ⊕⊕
    ɵɵ
    ɵɵɵ
    電容中,取出一個正電荷一次,(+1電)×(-1次),得到總電荷比原來(0)減少一個正電。
  4. 負負得正:
    ⊕⊕
    ⊕⊕⊕
    ɵɵ
    ɵɵɵ
    ɵ→=>
    ⊕⊕
    ⊕⊕⊕
    ɵɵ
    ɵɵ
    電容中,取出一個負電荷一次,(-1電)×(-1次),得到總電荷比原來(0)增加一個正電。

同學練習一[編輯]

  • 同學準備一張空白的 A4 紙,並寫上自己的名字。
  • 畫一個電容,裡面有 5 顆正電荷, 5 顆負電荷。
  • 定義:
    1. 每次放入一顆正電荷為 +1 電荷 ,每次放入一顆負電荷為 -1 電荷。
    2. 放入一次東西為 +1 次,取出一次東西為 -1 次。
    3. 電容比原來增加一個正電荷為 +1 ,電容比原來減少一個正電荷為 -1 。
  • 算則圖解:
    1. 正正得正:用放入一個正電荷一次,使電容增加一個正電荷的圖解來解釋 (+1電荷)×(+1次)=+1
    2. 負正得負:用放入一個負電荷一次,使電容減少一個正電荷的圖解來解釋 (-1電荷)×(+1次)=-1
    3. 正負得負:用取出一個正電荷一次,使電容減少一個正電荷的圖解來解釋 (+1電荷)×(-1次)=-1
    4. 負負得正:用取出一個負電荷一次,使電容增加一個正電荷的圖解來解釋 (-1電荷)×(-1次)=+1

同學練習二[編輯]

  • 老師指定每次兩個電荷,共放入或取出三次,仿上個練習,用圖解來解釋正負數乘法算則及總電荷的增減。

例子二:銅板與帳單[編輯]

定義:

  1. 一個⊙(一元銅板)加一個▉(一元帳單)為 0 ,銅板和帳單會互相抵消。
  2. 放入一次為「正一次」,取出一次為「負一次」。放入與取出也會互相抵消。
  3. 總資產增加一元為正,總資產減少一元為負。
  4. 撲滿裡放銅板和帳單。
⊙⊙
⊙⊙⊙
▉▉
▉▉▉

一開始撲滿中,銅板和帳單一樣多,總資產為0元。

算則圖解:

  1. 正正得正:
    ⊙⊙
    ⊙⊙⊙
    ▉▉
    ▉▉▉
    ⊙←=>
    ⊙⊙⊙
    ⊙⊙⊙
    ▉▉
    ▉▉▉
    撲滿中,放入一個一元銅板一次,(+1元)×(+1次),得到總資產比原來(0)增加一元。
  2. 負正得負:
    ⊙⊙
    ⊙⊙⊙
    ▉▉
    ▉▉▉
    ▉←=>
    ⊙⊙
    ⊙⊙⊙
    ▉▉▉
    ▉▉▉
    撲滿中,放入一個一元帳單一次,(-1元)×(+1次),得到總資產比原來(0)減少一元。
  3. 正負得負:
    ⊙⊙
    ⊙⊙⊙
    ▉▉
    ▉▉▉
    ⊙→=>
    ⊙⊙
    ⊙⊙
    ▉▉
    ▉▉▉
    撲滿中,取出一個一元銅板一次,(+1元)×(-1次),得到總資產比原來(0)減少一元。
  4. 負負得正:
    ⊙⊙
    ⊙⊙⊙
    ▉▉
    ▉▉▉
    ▉→=>
    ⊙⊙
    ⊙⊙⊙
    ▉▉
    ▉▉
    撲滿中,取出一個一元帳單一次,(-1元)×(-1次),得到總資產比原來(0)增加一元。

例子三:好人、壞人[編輯]

好人有好報是好事(正正得正)
好人有壞報是壞事(正負得負)
壞人有好報是壞事(負正得負)
壞人有壞報是好事(負負得正)

數學證明[編輯]

負數的定義[編輯]

  1. -1代表和+1相加會得0的數:(-1)+(+1)=0
  2. -2代表和+2相加會得0的數:(-2)+(+2)=0
  3. -a代表和+a相加會得0的數:(-a)+(+a)=0

任何數乘上0都為0[編輯]

乘法交換律[編輯]

a×b=b×a

例一:[編輯]

Commutative Multiplication.svg

例二:[編輯]

乘法分配律[編輯]

  • a×(b+c)=a×b+a×c
  • (b+c)×a=a×b+a×c

例一:[編輯]

(2+3)×4=2×4+3×4

+

正負得負,負正得負[編輯]

(+1)×0=0
(+1)×[(+1)+(-1)]=0
(+1)×(+1)+(+1)×(-1)=0
(+1)+(+1)×(-1)=0
∵根據定義和(+1)相加會得0的數是-1
∴(+1)×(-1)是-1
再根據乘法交換律,(+1)×(-1)=(-1)×(+1)
∴(-1)×(+1)也等於-1

負負得正[編輯]

(-1)×0=0
(-1)×[(+1)+(-1)]=0
(-1)×(+1)+(-1)×(-1)=0
∵(-1)×(+1)=-1
∴(-1)+(-1)×(-1)=0
∵根據定義和(-1)相加會得0的數是+1
∴(-1)×(-1)=+1

延伸學習[編輯]