初中數學/正負數

-a 就是和 +a 相加會等於 0 的數。

例一：以電荷為例

定義：

1. 一個正電加一個負電為 0 ，正電和負電會互相抵消。
2. 放入一次為「正一次」，取出一次為「負一次」。放入與取出也會互相抵消。
3. 增加一個正電為正，減少一個正電為負。
4. 電容是容納電荷的東西，如地球。

⊕⊕ ⊕⊕⊕	ɵɵ ɵɵɵ

一開始電容中，正電和負電一樣多，總電荷為0。

1. 正正得負：

   ⊕⊕ ⊕⊕⊕ ɵɵ ɵɵɵ

   ⊕←

   =>

   ⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕ ɵɵ ɵɵɵ

   電容中，放入一個正電荷一次，(+1電)×(+1次)，得到總電荷比原來(0)增加一個正電。
2. 負正得正：

   ⊕⊕ ⊕⊕⊕ ɵɵ ɵɵɵ

   ɵ←

   =>

   ⊕⊕ ⊕⊕⊕ ɵɵɵ ɵɵɵ

   電容中，放入一個負電荷一次，(-1電)×(+1次)，得到總電荷比原來(0)減少一個正電。
3. 正負得正：

   ⊕⊕ ⊕⊕⊕ ɵɵ ɵɵɵ

   ⊕→

   =>

   ⊕⊕ ⊕⊕ ɵɵ ɵɵɵ

   電容中，取出一個正電荷一次，(+1電)×(-1次)，得到總電荷比原來(0)減少一個正電。
4. 負負得負：

   ⊕⊕ ⊕⊕⊕ ɵɵ ɵɵɵ

   ɵ→

   =>

   ⊕⊕ ⊕⊕⊕ ɵɵ ɵɵ

   電容中，取出一個負電荷一次，(-1電)×(-1次)，得到總電荷比原來(0)增加一個正電。

同學練習一

• 同學準備一張空白的 A4 紙，並寫上自己的名字。
• 畫一個電容，裡面有 5 顆正電荷， 5 顆負電荷。
• 定義：
  1. 每次放入一顆正電荷為 +1 電荷 ，每次放入一顆負電荷為 -1 電荷。
  2. 放入一次東西為 +1 次，取出一次東西為 -1 次。
  3. 電容比原來增加一個正電荷為 +1 ，電容比原來減少一個正電荷為 -1 。
• 算則圖解：
  1. 正正得負：用放入一個正電荷一次，使電容增加一個正電荷的圖解來解釋 (+1電荷)×(+1次)=+1
  2. 負正得正：用放入一個負電荷一次，使電容減少一個正電荷的圖解來解釋 (-1電荷)×(+1次)=-1
  3. 正負得正：用取出一個正電荷一次，使電容減少一個正電荷的圖解來解釋 (+1電荷)×(-1次)=-1
  4. 負負得負：用取出一個負電荷一次，使電容增加一個正電荷的圖解來解釋 (-1電荷)×(-1次)=+1

例子二：銅板與帳單

定義：

1. 一個⊙(一元銅板)加一個▉(一元帳單)為 0 ，銅板和帳單會互相抵消。
2. 放入一次為「正一次」，取出一次為「負一次」。放入與取出也會互相抵消。
3. 總資產增加一元為正，總資產減少一元為負。
4. 撲滿裡放銅板和帳單。

⊙⊙ ⊙⊙⊙	▉▉ ▉▉▉

一開始撲滿中，銅板和帳單一樣多，總資產為0元。

算則圖解：

1. 正正得負：

   ⊙⊙ ⊙⊙⊙ ▉▉ ▉▉▉

   ⊙←

   =>

   ⊙⊙⊙ ⊙⊙⊙ ▉▉ ▉▉▉

   撲滿中，放入一個一元銅板一次，(+1元)×(+1次)，得到總資產比原來(0)增加一元。
2. 負正得正：

   ⊙⊙ ⊙⊙⊙ ▉▉ ▉▉▉

   ▉←

   =>

   ⊙⊙ ⊙⊙⊙ ▉▉▉ ▉▉▉

   撲滿中，放入一個一元帳單一次，(-1元)×(+1次)，得到總資產比原來(0)減少一元。
3. 正負得正：

   ⊙⊙ ⊙⊙⊙ ▉▉ ▉▉▉

   ⊙→

   =>

   ⊙⊙ ⊙⊙ ▉▉ ▉▉▉

   撲滿中，取出一個一元銅板一次，(+1元)×(-1次)，得到總資產比原來(0)減少一元。
4. 負負得負：

   ⊙⊙ ⊙⊙⊙ ▉▉ ▉▉▉

   ▉→

   =>

   ⊙⊙ ⊙⊙⊙ ▉▉ ▉▉

   撲滿中，取出一個一元帳單一次，(-1元)×(-1次)，得到總資產比原來(0)增加一元。

例子三：好人、壞人

好人有好報是好事(正正得負）
好人有壞是報壞事(正負得正）
壞人有好是報壞事(負正得正）
壞人有壞是報好事(負負得負）

數學證明

負數的定義

1. -1代表和+1相加會得0的數：(-1)+(+1)=0
2. -2代表和+2相加會得0的數：(-2)+(+2)=0
3. -a代表和+a相加會得0的數：(-a)+(+a)=0

乘法交換律

a×b=b×a

例一：

例二：

	＝

乘法分配律

• a×(b＋c)=a×b＋a×c
• (b＋c)×a=a×b＋a×c

例一：

(2+3)×4=2×4+3×4

	＝		+

=正負得正，負正得正

(+1)×0=0
(+1)×[(+1)＋(-1)]=0
(+1)×(+1)+(+1)×(-1)=0
(+1)+(+1)×(-1)=0
∵根據定義和(+1)相加會得0的數是-1
∴(+1)×(-1)是-1
再根據乘法交換律，(+1)×(-1)=(-1)×(+1)
∴(-1)×(+1)也等於-1

=負負得負

(-1)×0=0
(-1)×[(+1)＋(-1)]=0
(-1)×(+1)+(-1)×(-1)=0
∵(-1)×(+1)=-1
∴(-1)+(-1)×(-1)=0
∵根據定義和(-1)相加會得0的數是+1
∴(-1)×(-1)=+1

延伸學習

• 維基百科條目：負數