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初中數學/正負數

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-a 就是和 +a 相加會等於 0 的數。

例一：以電荷為例

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定義：

  1. 一個正電加一個負電為 0 ，正電和負電會互相抵消。
  2. 放入一次為「正一次」，取出一次為「負一次」。放入與取出也會互相抵消。
  3. 增加一個正電為正，減少一個正電為負。
  4. 電容是容納電荷的東西，如地球。
⊕⊕
⊕⊕⊕		ɵɵ
ɵɵɵ

一開始電容中，正電和負電一樣多，總電荷為0。

  1. 正正得負：
    ⊕⊕
    ⊕⊕⊕    		ɵɵ
    ɵɵɵ
    		⊕←=>
    ⊕⊕⊕
    ⊕⊕⊕    		ɵɵ
    ɵɵɵ
    電容中，放入一個正電荷一次，(+1電)×(+1次)，得到總電荷比原來(0)增加一個正電。
  2. 負正得正：
    ⊕⊕
    ⊕⊕⊕    		ɵɵ
    ɵɵɵ
    		ɵ←=>
    ⊕⊕
    ⊕⊕⊕    		ɵɵɵ
    ɵɵɵ
    電容中，放入一個負電荷一次，(-1電)×(+1次)，得到總電荷比原來(0)減少一個正電。
  3. 正負得正：
    ⊕⊕
    ⊕⊕⊕    		ɵɵ
    ɵɵɵ
    		⊕→=>
    ⊕⊕
    ⊕⊕    		ɵɵ
    ɵɵɵ
    電容中，取出一個正電荷一次，(+1電)×(-1次)，得到總電荷比原來(0)減少一個正電。
  4. 負負得負：
    ⊕⊕
    ⊕⊕⊕    		ɵɵ
    ɵɵɵ
    		ɵ→=>
    ⊕⊕
    ⊕⊕⊕    		ɵɵ
    ɵɵ
    電容中，取出一個負電荷一次，(-1電)×(-1次)，得到總電荷比原來(0)增加一個正電。

同學練習一

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  • 同學準備一張空白的 A4 紙，並寫上自己的名字。
  • 畫一個電容，裡面有 5 顆正電荷， 5 顆負電荷。
  • 定義：
    1. 每次放入一顆正電荷為 +1 電荷 ，每次放入一顆負電荷為 -1 電荷。
    2. 放入一次東西為 +1 次，取出一次東西為 -1 次。
    3. 電容比原來增加一個正電荷為 +1 ，電容比原來減少一個正電荷為 -1 。
  • 算則圖解：
    1. 正正得負：用放入一個正電荷一次，使電容增加一個正電荷的圖解來解釋 (+1電荷)×(+1次)=+1
    2. 負正得正：用放入一個負電荷一次，使電容減少一個正電荷的圖解來解釋 (-1電荷)×(+1次)=-1
    3. 正負得正：用取出一個正電荷一次，使電容減少一個正電荷的圖解來解釋 (+1電荷)×(-1次)=-1
    4. 負負得負：用取出一個負電荷一次，使電容增加一個正電荷的圖解來解釋 (-1電荷)×(-1次)=+1

例子二：銅板與帳單

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定義：

  1. 一個⊙(一元銅板)加一個▉(一元帳單)為 0 ，銅板和帳單會互相抵消。
  2. 放入一次為「正一次」，取出一次為「負一次」。放入與取出也會互相抵消。
  3. 總資產增加一元為正，總資產減少一元為負。
  4. 撲滿裡放銅板和帳單。
⊙⊙
⊙⊙⊙		▉▉
▉▉▉

一開始撲滿中，銅板和帳單一樣多，總資產為0元。

算則圖解：

  1. 正正得負：
    ⊙⊙
    ⊙⊙⊙    		▉▉
    ▉▉▉
    		⊙←=>
    ⊙⊙⊙
    ⊙⊙⊙    		▉▉
    ▉▉▉
    撲滿中，放入一個一元銅板一次，(+1元)×(+1次)，得到總資產比原來(0)增加一元。
  2. 負正得正：
    ⊙⊙
    ⊙⊙⊙    		▉▉
    ▉▉▉
    		▉←=>
    ⊙⊙
    ⊙⊙⊙    		▉▉▉
    ▉▉▉
    撲滿中，放入一個一元帳單一次，(-1元)×(+1次)，得到總資產比原來(0)減少一元。
  3. 正負得正：
    ⊙⊙
    ⊙⊙⊙    		▉▉
    ▉▉▉
    		⊙→=>
    ⊙⊙
    ⊙⊙    		▉▉
    ▉▉▉
    撲滿中，取出一個一元銅板一次，(+1元)×(-1次)，得到總資產比原來(0)減少一元。
  4. 負負得負：
    ⊙⊙
    ⊙⊙⊙    		▉▉
    ▉▉▉
    		▉→=>
    ⊙⊙
    ⊙⊙⊙    		▉▉
    ▉▉
    撲滿中，取出一個一元帳單一次，(-1元)×(-1次)，得到總資產比原來(0)增加一元。

例子三：好人、壞人

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好人有好報是好事(正正得負）
好人有壞是報壞事(正負得正）
壞人有好是報壞事(負正得正）
壞人有壞是報好事(負負得負）

數學證明

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負數的定義

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  1. -1代表和+1相加會得0的數：(-1)+(+1)=0
  2. -2代表和+2相加會得0的數：(-2)+(+2)=0
  3. -a代表和+a相加會得0的數：(-a)+(+a)=0

任何數乘上0都為0

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乘法交換律

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a×b=b×a

例一：

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例二：

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＝

乘法分配律

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  • a×(b＋c)=a×b＋a×c
  • (b＋c)×a=a×b＋a×c

例一：

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(2+3)×4=2×4+3×4

＝

+

=正負得正，負正得正

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(+1)×0=0
(+1)×[(+1)＋(-1)]=0
(+1)×(+1)+(+1)×(-1)=0
(+1)+(+1)×(-1)=0
∵根據定義和(+1)相加會得0的數是-1
∴(+1)×(-1)是-1
再根據乘法交換律，(+1)×(-1)=(-1)×(+1)
∴(-1)×(+1)也等於-1

=負負得負

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(-1)×0=0
(-1)×[(+1)＋(-1)]=0
(-1)×(+1)+(-1)×(-1)=0
∵(-1)×(+1)=-1
∴(-1)+(-1)×(-1)=0
∵根據定義和(-1)相加會得0的數是+1
∴(-1)×(-1)=+1

延伸學習

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