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素數p與素數p+2有無窮多對
利用素數的判定法則,可以得到以下的結論:「若自然數
與
都不能被任何不大於
的素數
整除,則
與
都是素數」。這是因為一個自然數
是素數當且僅當它不能被任何小於等於
的素數整除。
用數學的語言表示以上的結論,就是:
- 存在一組自然數
,使得
![{\displaystyle q=p_{1}m_{1}+b_{1}=p_{2}m_{2}+b_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+b_{k}\qquad \qquad \qquad \cdots \qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb28b47161a35d4587dfe59f8d4fb5a6d9763be)
其中
表示從小到大排列時的前k個素數:2,3,5,....。並且滿足
![{\displaystyle \forall 1\leq i\leq k,\ \ 0<b_{i}<p_{i},\ b_{i}\neq 0,\ b_{i}\neq p_{i}-2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbdab43a4554cf96e30b03a316b598ca0c7ddc08)
這樣解得的自然數
如果滿足
,則
與
是一對孿生素數。
我們可以把(1)式的內容等價轉換成為同餘方程組表示:
![{\displaystyle q\equiv b_{1}{\pmod {p_{1}}},q\equiv b_{2}{\pmod {p_{2}}},\dots ,q\equiv b_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \qquad \cdots \qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1f771c74119ff28e7a72a6a67e6e3a27df8a51)
由於(2)的模
,
,...,
都是素數,因此兩兩互素,根據孫子定理(中國剩餘定理)知,對於給定的
,(2)式有唯一一個小於
的正整數解。
例如k=1時,
,解得
。由於
,所以可知
與
、
與
都是孿生素數。這樣就求得了區間
里的全部孿生素數對。
又比如k=2時,列出方程
,解得
。由於
,所以
與
、
與
都是了孿生素數。由於這已經是所有可能的
值,所以這樣就求得了區間
的全部孿生素數對。
k=3時 |
![{\displaystyle 5m_{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649f46a350f5a8f36c18b40327fef3d12df6946c) |
![{\displaystyle 5m_{3}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a31e46812c73c8ef23c8059a421f04c80002da) |
|
= |
11,41 |
17 |
29
|
由於這已經是所有可能的
值,所以這樣就求得了區間
的全部孿生素數對。
k=4時 |
![{\displaystyle 7m_{4}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e6b2eef9778fa352754f4d5dac6137d401f45a) |
![{\displaystyle 7m_{4}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75776d9c663e894623f604cbdb2699c134f7062) |
![{\displaystyle 7m_{4}+3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733078d86b54cd8242b5c52507d56a3e23b31cc3) |
![{\displaystyle 7m_{4}+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a0c79602ed62ff2c931756f8e56fca35d7fbcf) |
|
= |
71 |
191 |
101 |
11 |
41
|
= |
197 |
107 |
17 |
137 |
167
|
= |
29 |
149 |
59 |
179 |
209
|
由於這已經是所有可能的
值,所以這樣就求得了區間
的全部孿生素數對(8個小於121-2的解)。
仿此下去可以一個不漏地求得任意大的數以內的全部孿生素數對。對於所有可能的
值,(1)和(2)式在![{\displaystyle p_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b58f22283ca46dd5da309cc34303b06a797783)
...
範圍內,有
(
)(
)(
)...(
)(3)
個解。
孿生素數猜想就是在k值任意大時(1)和(2)式都有小於
的解。
【孿生質數公式】中等數學雜誌,2000年1期