双生质数

什么是孪生素数猜想

素数p与素数p+2有无穷多对

孪生素数的公式

利用素数的判定法则，可以得到以下的结论：“若自然数$q$与$q+2$都不能被任何不大于${\sqrt {q+2}}$的素数 整除，则$q$与$q+2$都是素数”。这是因为一个自然数$n$是素数当且仅当它不能被任何小于等于${\sqrt {n}}$的素数整除。 用数学的语言表示以上的结论，就是：

存在一组自然数$b_{1},b_{2},\cdot ,b_{k}$，使得

$q=p_{1}m_{1}+b_{1}=p_{2}m_{2}+b_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+b_{k}\qquad \qquad \qquad \cdots \qquad (1)$

其中 $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$表示从小到大排列时的前k个素数：2，3，5，....。并且满足

$\forall 1\leq i\leq k,\ \ 0<b_{i}<p_{i},\ b_{i}\neq 0,\ b_{i}\neq p_{i}-2.$

这样解得的自然数$q$如果满足$q<p_{K+1}^{2}-2$,则$q$与$q+2$是一对孪生素数。 我们可以把（1）式的内容等价转换成为同余方程组表示：

$q\equiv b_{1}{\pmod {p_{1}}},q\equiv b_{2}{\pmod {p_{2}}},\dots ,q\equiv b_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \qquad \cdots \qquad (2)$

由于（2）的模$p_{1}$,$p_{2}$,...,$p_{k}$都是素数，因此两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，对于给定的$b_{1},b_{2},\cdot ,b_{k}$，（2）式有唯一一个小于$p_{1}p_{2}\cdots p_{k}$的正整数解。

范例

例如k=1时，$q=2m_{1}+1$，解得$q=3,5$。由于$5<3^{2}-2$，所以可知$3$与$3+2$、$5$与$5+2$都是孪生素数。这样就求得了区间$(3,3^{2})$里的全部孪生素数对。

又比如k=2时，列出方程$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2$，解得$q=5,11,17$。由于$17<5^{2}-2$，所以$11$与$11+2$、$17$与$17+2$都是了孪生素数。由于这已经是所有可能的$b_{1},b_{2},\cdot ,b_{k}$值，所以这样就求得了区间$(5,5^{2})$的全部孪生素数对。

k=3时	$5m_{3}+1$	$5m_{3}+2$	$5m_{3}+4$
$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2$=	11,41	17	29

由于这已经是所有可能的$b_{1},b_{2},\cdot ,b_{k}$值，所以这样就求得了区间$(7,7^{2})$的全部孪生素数对。

k=4时	$7m_{4}+1$	$7m_{4}+2$	$7m_{4}+3$	$7m_{4}+4$	$7m_{4}+6$
$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1$=	71	191	101	11	41
$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2$=	197	107	17	137	167
$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+4$=	29	149	59	179	209

　　 　由于这已经是所有可能的$b_{1},b_{2},\cdot ,b_{k}$值，所以这样就求得了区间$(11,11^{2})$的全部孪生素数对（8个小于121-2的解）。　　　 　　 仿此下去可以一个不漏地求得任意大的数以内的全部孪生素数对。对于所有可能的$b_{1},b_{2}\cdot ,b_{k}$值，(1)和(2)式在$p_{1}$$p_{2}$...$p_{k}$范围内，有 （$p_{1}-1$）（$p_{2}-2$）($p_{3}-2$)...（$p_{k}-2$）（3） 个解。

结论推广

孪生素数猜想就是在k值任意大时（1）和（2）式都有小于$p_{k+1}^{2}-2$的解。

参考文献

【孪生质数公式】中等数学杂志，2000年1期