自然科學/衝量 動量

衝量

給一個質量為$m$的物體施加一個力${\boldsymbol {F}}$，那麼這個力的作用效果跟力的大小、方向、作用時間均有關係。現在假設力的方向為水平上的某方向且保持不變，且物體在時間$t_{0}=0$時刻具有速度${\boldsymbol {v_{0}}}$。

經過$t$的時間的$t_{1}=t$時刻，根據牛頓第二定律，我們可以計算出物體此時的運動速度

$${\boldsymbol {v_{1}}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {F}}t/m$$

我們將兩端同時乘以$m$並作適當的移項，可以得到

$${\boldsymbol {F}}t=m({\boldsymbol {v_{1}}}-{\boldsymbol {v_{0}}})$$

我們知道，兩個時刻的速度之差為物體在這段時間內速度的變化量，我們用$\Delta {\boldsymbol {v}}$來代替$({\boldsymbol {v_{1}}}-{\boldsymbol {v_{0}}})$得

$${\boldsymbol {F}}t=m\Delta {\boldsymbol {v}}$$

從上式中，我們可以看出，質量一定的物體，速度的改變量只與受到的力和該力作用的時間有關。因此，對我我們來說，力和力的作用時間是一個有研究意義的量，現在我們將它定義為一個新的物理量——衝量，一般用字母${\boldsymbol {I}}$表示，即

$${\boldsymbol {I}}={\boldsymbol {F}}t$$

容易知道，衝量是矢量。

衝量的計算

我們容易證明在任意時間段$t$內，合力${\boldsymbol {F}}$的衝量${\boldsymbol {I}}$等於各個分力${\boldsymbol {F_{n}}}$的衝量${\boldsymbol {I_{n}}}$之和，即

$${\boldsymbol {I}}=\sum {\boldsymbol {I_{n}}}$$

對於一個變力${\boldsymbol {F}}$，我們假設時間段$T_{0}$時刻至$T_{n}$時刻內各個時間段$t_{1},t_{2},...,t_{n}(t_{i}=T_{i+1}-T_{i},T_{i}<T_{i+1})$內力均保持恆定，分別為${\boldsymbol {F_{1}}},{\boldsymbol {F_{2}}},...,{\boldsymbol {F_{n}}}$，則變力${\boldsymbol {F}}$在$t=T_{n}-T_{0}$的總衝量為各個${\boldsymbol {F}}$保持恆定的時間段內的衝量之和。

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {I}}&=\sum {\boldsymbol {I_{n}}}\\&=\sum {\boldsymbol {F_{i}}}t_{i}\\\end{aligned}}$$

簡單地講，就是計算變力的衝量，可以將變力分為多個時間段內的恆力分別計算衝量再求和。

倘若變力${\boldsymbol {F}}$隨着時間不斷變化，那麼我們可以考慮使用微元法或微積分計算某個時間段內的衝量。

動量

在某個參考系下，物體質量和速度的乘積，稱為物體在該參考系下的動量，即

$${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$$

顯然動量是矢量，並且物體的動量和參考系的選擇有關。

動量，是一個人為定義的物理量，和動能一樣，我們定義了一個新的物理量從另一個角度來描述物體運動的特性。動量是解決碰撞過程有關問題的良好的工具。同時由於動量和速度成正比，計算量遠小於動能，因此解決問題時使用動量可以化簡計算。我們即將解釋動量和衝量的關係。

衝量和動量的關係

假設質量為$m$物體在$t_{0}=0$時刻速度為${\boldsymbol {v_{0}}}$，在$t_{0}$到$t_{1}=t$之間，物體受到的合外力恆定且為${\boldsymbol {F}}$，那麼由牛頓第二定律，我們可以計算出物體在$t_{1}$時刻的速度

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {v_{1}}}&={\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {a}}t\\&={\boldsymbol {v_{0}}}+{\frac {{\boldsymbol {F}}t}{m}}\\\end{aligned}}$$

將${\boldsymbol {v_{0}}}$移動到等式左邊，然後兩邊同時乘以$m$得

$$m{\boldsymbol {v_{1}}}-m{\boldsymbol {v_{0}}}={\boldsymbol {F}}t$$

等式左邊為物體在這段時間內的動量變化量，等式右邊為物體受到的合力的衝量，我們用相應的字幕代替上式的左右端則有

$$\Delta {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {I}}$$

對於變力，我們可以將它分解為多個時間段內的恆力，而對於那些不斷變化的力，我們總是可以將它看作很多個微小時間段內的恆力，因此同樣有以上結論：（在一定參考系下）一定時間內，物體的動量改變量等於其合力的衝量。這個結論叫做動量定理。