高中數學（版聊式）/必修一/基本初等函數/第1節:函數基本概念及性質

1. 函數的定義
2. 函數的單調性
3. 函數的奇偶性
4. 函數的有界性
5. 函數的周期性

函數的定義

定義1　函數 給定兩個實數集合A,B，A到B的函數是指一個A，B之間的映射（set）。

換句話說, 如果一個映射的定義域和值域都是實數, 這個映射就稱為函數.

函數的幾個基本特性

1. 函數的單調性：設$f(x)$定義域為$D$，區間$I\subseteq D$,如果對於區間I上的任意兩點$x_{1}$,$x_{2}$，當$x_{1}<x_{2}$時，總有$f(x_{1})<f(x_{2})$,我們就稱$f(x)$在$I$上單調遞增，若是$f(x_{1})>f(x_{2})$，則稱$f(x)$在$I$上單調遞減.
2. 函數的奇偶性：設$f(x)$的定義域$D$關於原點對稱，如果對任一$x\in D$，有$f(-x)=f(x)$恆成立,則稱$f(x)$在$D$上為偶函數，如果$f(-x)=f(x)$恆成立，則稱$f(x)$在定義域$D$上為奇函數.
3. 函數的有界性：設$f(x)$的定義域為$D$，數集$X\subseteq D$，若存在實數$k$，使$f(x)\leqslant k$對任意$x\in X$都成立，則稱$f(x)$在$X$上有上界，而$k$稱為$f(x)$在$X$上的一個上界；如果存在正數$M$，使$\left|f(x)\right|\leqslant M$對任意$x\in X$都成立，則稱$f(x)$在$X$上有界，如果這樣的$M$不能存在，則稱$f(x)$在$X$上無界.
4. 函數的周期性：設$f(x)$的定義域為$D$，若存在一個正數$T$,使任意$x\in D$，有$x+T\in D$,且$f(x+T)=f(x)$恆成立，則稱$f(x)$為周期為$T$的周期函數.