高中数学（版聊式）/必修一/基本初等函数/第1节:函数基本概念及性质

1. 函数的定义
2. 函数的单调性
3. 函数的奇偶性
4. 函数的有界性
5. 函数的周期性

函数的定义

定义1　函数 给定两个实数集合A,B，A到B的函数是指一个A，B之间的映射（set）。

换句话说, 如果一个映射的定义域和值域都是实数, 这个映射就称为函数.

函数的几个基本特性

1. 函数的单调性：设$f(x)$定义域为$D$，区间$I\subseteq D$,如果对于区间I上的任意两点$x_{1}$,$x_{2}$，当$x_{1}<x_{2}$时，总有$f(x_{1})<f(x_{2})$,我们就称$f(x)$在$I$上单调递增，若是$f(x_{1})>f(x_{2})$，则称$f(x)$在$I$上单调递减.
2. 函数的奇偶性：设$f(x)$的定义域$D$关于原点对称，如果对任一$x\in D$，有$f(-x)=f(x)$恒成立,则称$f(x)$在$D$上为偶函数，如果$f(-x)=-f(x)$恒成立，则称$f(x)$在定义域$D$上为奇函数.
3. 函数的有界性：设$f(x)$的定义域为$D$，数集$X\subseteq D$，若存在实数$k$，使$f(x)\leqslant k$对任意$x\in X$都成立，则称$f(x)$在$X$上有上界，而$k$称为$f(x)$在$X$上的一个上界；如果存在正数$M$，使$\left|f(x)\right|\leqslant M$对任意$x\in X$都成立，则称$f(x)$在$X$上有界，如果这样的$M$不能存在，则称$f(x)$在$X$上无界.
4. 函数的周期性：设$f(x)$的定义域为$D$，若存在一个正数$T$,使任意$x\in D$，有$x+T\in D$,且$f(x+T)=f(x)$恒成立，则称$f(x)$为周期为$T$的周期函数.