高中數學/平面解析幾何/橢圓

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

預備知識

閱讀本節，需要先學習直線方程與圓方程的知識，並且務必熟悉韋達定理與平方項的代數變形技巧。

考試要求

在平面解析幾何中，對橢圓的知識考察比例是最重的，而且綜合考試中解析幾何板塊的大解答題一般都是考橢圓。主要有2個方面的原因。其一，橢圓是封閉圖形，許多幾何性質易於從直觀上理解和把握。其次，橢圓的方程有一定的複雜性，在二次曲線的方程研究中具有代表性。

2010年3月9日，中華民國立法委員洪秀柱曾用3道題橢圓與拋物線的問題考當時的台灣教育部長，結果對方沒能在指定時限內成功給出解答。洪以此事作為判斷文科生學習橢圓等相關知識無用的依據。

基礎知識

知識引入

直觀上看，如果把圓沿特定方向壓縮或伸長，得到的圖形就是常說的橢圓（ellipse）。

一般來說，對圓的標準方程$x^{2}+y^{2}=r^{2}$同時作沿x與y方向的伸縮變換：

$\left\{{\begin{array}{l}x'=ax\quad (a>0)\\y'=by\quad (b>0)\end{array}}\right.$

可得：$({\frac {x'}{a}})'^{2}+({\frac {y'}{b}})^{2}=r^{2}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}=r^{2}$

這就是我們本節要學習的橢圓方程。不過，與先前所學的圓不同的是，橢圓還有好幾種特有性質都可以用作其定義。換句話說，橢圓具有多種等價的定義方式。接下來，我們會採用一種更便於作圖的方法定義並推導出橢圓的方程。

提示：(1)解析幾何里所說的橢圓一律是指橢圓圖形的輪廓線，也就是橢圓周。橢圓方程也是指橢圓輪廓線的方程，不包括其內側的區域。我們說「點在橢圓上」，一般是指點在橢圓周上；說「點不在橢圓上」或「點在橢圓外」，一般都是指點不在橢圓周上。(2)橢圓（ellipse）和蛋形（oval）在外觀上有些相似，在非數學資料中有時會互譯，但在數學上並不是同一個概念。

提示：有關圓與橢圓之間伸縮變換的知識是大學階段「解析幾何」或「高等幾何」課程的知識點，在高中階段可能也會在仿射矩陣知識中有所接觸，但一般並不是高中解析幾何的學習內容。有興趣的讀者可以參閱仿射幾何的相關知識。有一些習題或考題會隱蔽地涉及到在仿射變換下對圓與橢圓同時都成立的命題。

橢圓的標準方程

設平面內的x軸上有2個固定點$F_{1}(-c,0),F_{2}(0,c)\quad (c>0)$。我們斷言，平面上到這2個定點的距離之和為定值$2a\quad (a>c)$的動點的軌跡就是橢圓。
為此，設滿足條件的動點為M (x, y)，則已知約束條件等價於$|MF_{1}|+|MF_{2}|=2a$。
利用平面上兩點間的距離公式可得：
$|MF_{1}|+|MF_{2}|=2a\quad \Leftrightarrow \quad {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a$
由於式中含有2個分離的根式，先後進行2次巧妙的移項和平方後，可以整理得到：
$(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$
因為a > c，所以$a^{2}-c^{2}>0$。不妨記$b^{2}=a^{2}-c^{2}$，則有：
$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

通過這樣的方式，我們也得到了橢圓的方程。其中的a叫做該橢圓的半長軸（semi-major axis），它可以理解為橢圓長度的一半；b叫做半短軸（semi-minor axis），它可以理解為橢圓寬度的一半；點$F_{1},F_{2}$都叫做橢圓的焦點（focus，複數形式：foci），它們是該定義下橢圓的構造基礎；c叫做半焦距，它描述了焦點偏離其橢圓幾何中心的程度。

提示：後面會提到，焦距、焦點的概念名稱都來自於橢圓特殊的光學性質。

提示：焦點的英文複數形式「foci」讀作/ˈfəʊ.kʰaɪ/（英式）或/ˈfoʊ.sʰaɪ/（美式）。

類似地，交換x與y的位置，仍然可以模仿上述論證過程得到焦點在點$F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)$的橢圓的方程為： ${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1\quad (a>b>0)$

我們將上述結論作為橢圓的新定義如下：

定義平面上到2個定點的距離之和為常數（該常數大於2個給定點之間的距離）的點的軌跡為橢圓。這2個定點叫做橢圓的焦點，它們之間的間距叫做焦距。

在平面直角坐標系中，焦點在點$F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)$的橢圓的標準方程（ellipse standard equation或equation of ellipse in standard form）為： ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (a>b>0)$

在平面直角坐標系中，焦點在點$F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)$的橢圓的標準方程為： ${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1\quad (a>b>0)$

無論上述哪一種情況，都有關係式$a^{2}=b^{2}+c^{2}$成立。

為了稱呼的簡便，我們把用這2種標準方程描述的橢圓都叫做標準橢圓。

焦點在x軸上的橢圓和在y軸上的橢圓，幾何性質沒有本質的區別，只是坐標系的選取角度的差異。在論證橢圓的幾何性質時，我們往往只需要巧妙選擇坐標系，針對焦點在x軸的標準橢圓進行處理，此時得到的結論也會適用於朝向不同方位的其它橢圓。

提示：解析幾何的運算量往往比較大。合理地選擇坐標系能夠極大地簡化運算過程。所以我們優先選擇把橢圓的焦點固定在坐標軸上，對於這種標準橢圓的分析和計算會相對容易很多。後面將會看到，對於坐標系已提前取定的更一般的平面橢圓方程（焦點不一定在直接坐標系的坐標軸上），原則上也可以通過坐標系的旋轉變換技巧，將其轉換為與標準橢圓完全相似的情形。

橢圓早在古希臘時代就已經有數學家研究。由於其與圓錐截面的聯繫，亞里士塔歐（Aristaeus，公元前4世紀）將其歸類為「圓錐曲線」（conic section(s)）中的一種。古希臘幾何學名家阿波羅尼奧斯在其《圓錐曲線論》一書中，使用傳統的幾何方法費力地論證了橢圓軌跡上任意一點到2個焦點的距離為定值的結論。在此基礎上，拜占庭數學家安提繆斯（Anthemius，約474年－534年）發明了橢圓的「兩釘一繩」畫法。後來法國天文學家菲利普·拉伊爾（Philippe de La Hire，1640年－1719年）正式以平面上到2個固定點的距離之和為常數的軌跡來重新定義橢圓。約20年後，洛必達侯爵（Marquis de L』Hospital，1661年－1704年）根據拉伊爾給出的橢圓定義，成功地推導出了橢圓的方程。

提示：除了原始的「兩釘一繩」畫法，橢圓還可以使用一種專門的橢圓規作出。

使用待定係數法或定義求橢圓的方程

相關例題1： P (2, k) and Q (2, -k) are the points of the ellipse ${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{4}}=1$. Find the value of k.

相關例題2： 已知定點B (3, 0)和一個以點$C_{0}$為圓心的圓$C:(x+3)^{2}+y^{2}=100$。P是圓周上的一個動點，線段BP的垂直平分線交$C_{0}P$的延長線於點M。求M的軌跡方程。

橢圓的簡單幾何性質

範圍

由焦點在x軸的橢圓標準方程可知：
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\leq 1\\{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\leq 1\end{array}}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}x^{2}\leq a^{2}\\y^{2}\leq b^{2}\end{array}}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}-a\leq x\leq a\\-b\leq y\leq b\end{array}}\right.$
所以橢圓周上的點都滿足上式不等關係。而且，這也說明橢圓位於4條直線$x=\pm a,y=\pm b$所圍成的矩形內。
對於焦點在y軸上的橢圓有類似結果。

對稱性

在橢圓的標準方程（無論焦點在哪個坐標軸上）中，用-x取代x，或是用-y取代y，或者同時對x和y正負取反，方程的形式都不變。這說明橢圓的標準方程具有形式對稱性。另一方面，對於任何一個滿足標準橢圓方程的點$P(x_{0},y_{0})$，如果求出它關於x軸、y軸、原點的對稱點的坐標，也容易發現這些對稱點也都滿足原來的橢圓方程。這說明橢圓的標準方程具有幾何對稱性。

更直觀地看，這些事實說明標準橢圓同時具有下列對稱性：

• 關於x軸是軸對稱的。
• 關於y軸是軸對稱的。
• 關於坐標系原點是中心對稱的。

我們就把橢圓的中心對稱點（對稱中心）叫做橢圓的中心（center of an ellispe）。直觀上看，它也是橢圓的幾何中心。

長短軸和頂點

為敘述方便，我們考慮焦點在x軸上的標準橢圓。設此橢圓與2個焦點所在直線的交點分別為$A_{1},A_{2}$，記坐標系原點為O。由橢圓「兩釘一繩」的作圖法可知，在橢圓周上，只有2個交點$A_{1},A_{2}$是距離橢圓中心最遠的點。並且通過橢圓標準方程，容易求出曲線與x軸的交點位置為$x=\pm a,y=0$。如果$A_{1}$是線段$A_{1}A_{2}$上偏左的點，那麼它們的坐標位置分別就為$A_{1}=(-a,0),A_{2}=(a,0)$。我們把線段$A_{1}A_{2}$叫做橢圓的長軸，$OA_{1}$或$OA_{2}$以及它們的數值大小都叫做橢圓的半長軸。

類似地，可以求得此橢圓標準方程與y軸也有2個交點，位置為$x=0,y=\pm b$。不妨設它們為$B_{1}(0,b),B_{2}(0,-b)$。我們斷言$B_{1},B_{2}$是此橢圓周上2個到橢圓中心距離最短的點。
為說明這一點，設橢圓上動點M (x, y)到橢圓中心（原點）的距離為d。由兩點距離公式及M滿足橢圓方程可得：
${\begin{array}{l}\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad \Rightarrow \quad y^{2}=b^{2}(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}})\\d^{2}=x^{2}+y^{2}\end{array}}\right.\\\quad \Rightarrow \quad d^{2}=x^{2}+b^{2}(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}})=x^{2}+b^{2}-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}=(1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}})x^{2}+b^{2}\end{array}}$
由此可見，x的絕對值越小，對應的M點到中心的距離d也越小。即有$x=0,y=\pm b$時，距離d取到最小值b。

因為上述原因，橢圓除長軸外，還可以定義出短軸。我們把上述焦點在x軸上的標準橢圓與y軸的2個交點的連線段$B_{1}B_{2}$叫做橢圓的短軸，$OB_{1}=OB_{2}$叫做半短軸。不難發現不論是焦點在x軸還是在y軸，標準橢圓的長軸長度永遠是2a，短軸長度永遠是2b。當長軸和短軸變為一樣長時，橢圓退化為圓形。

最後標準橢圓與坐標軸的4個交點刻畫了橢圓的關鍵位置與對稱性信息，我們將它們都稱為橢圓的端點。

橢圓周上到橢圓中心最遠的2個點之間的連線段叫做橢圓的長軸，最短的2個點之間的連線段叫做橢圓的短軸，長軸和短軸與橢圓周的交點都叫做橢圓的端點（或頂點）。

相關例題： 試通過代數變形，嚴格論證在橢圓周上，只有長軸上的2個端點到橢圓中心的距離最長。

離心率

由於有的橢圓可以很扁，也有的可以很圓，所以需要尋找一種方式衡量橢圓形狀整體的彎曲程度。最一個容易的想到的方法是考察長短軸的比例值。當長軸和短軸的長度接近時，就表示橢圓接近圓形；反之則偏離圓形，變得比較扁。這對於研究橢圓來說是完全沒問題的。

不過，後來人們還發現橢圓和其它一些二次曲線也存在密切聯繫，而它們的共同幾何特徵都適合用下面的特殊比值來定義：

橢圓焦距與長軸長度的比例，叫做橢圓的離心率或偏心距（eccentricity）。易知對於一個標準橢圓，其離心率為$e={\frac {c}{a}}<1$。

離心率可以與橢圓長短軸的長度比建立起聯繫，從而也可以衡量橢圓外形的彎曲程度。為此，我們仍然通過長短軸的比例來分析離心率對橢圓形狀的影響：
${\frac {b}{a}}={\sqrt {\frac {b^{2}}{a^{2}}}}={\sqrt {\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}}}}={\sqrt {1-({\frac {c}{a}})^{2}}}={\sqrt {1-e^{2}}}\quad (0<e<1)$
由於$f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}\quad (0<x<1)$是一個單調遞減的函數，且a與b的比值越接近1時，橢圓才越接近圓形，所以可得：

離心率對橢圓形狀的影響（設長軸長度的一半和短軸長度的一半分別為a、b）：

• 當離心率e的值越接近0時，比值${\frac {b}{a}}$結果越接近1，說明a與b差異越小，橢圓越圓。
• 當離心率e的值越接近1時，比值${\frac {b}{a}}$結果越接近0，說明a與b差異越大，橢圓越扁。

離心率的說法來源於天文學，其中的「心」指的不是橢圓的旋轉中心，而是橢圓軌道的萬有引力中心，也就是橢圓的其中某個焦點。約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler，1571年－1630年）最先發現了橢圓軌跡可以描述天體的運動規律。根據開普勒總結的定律，不會跑丟的衛星繞中心天體的運動軌跡是橢圓，並且中心天體一定會處於橢圓的其中一個焦點上。

假設有1個衛星天體繞某一中心天體沿着橢圓周軌道運動。記離中心天體（焦點）最近的長軸端點叫做近拱點（periapsis），離中心天體最遠的端點叫做遠拱點（apoapsis）。再記近拱點到中心天體的距離為$r_{p}=a-c$，再記遠拱點到中心天體的距離為$r_{a}=a+c$。則有：
$|{\frac {d_{a}-d_{p}}{d_{a}+d_{p}}}|={\frac {(a+c)-(a-c)}{(a+c)+(a-c)}}={\frac {2c}{2a}}=e$
因此離心率也可以解釋為中心天體到近拱點距離和到遠拱點距離的相對差距。

提示：嚴格來說，根據有關牛頓萬有引力定理的知識，還可推知這些天體和衛星實際上組成的是二體或多體系統，它們應該是圍繞共同構成的質量中心旋轉，而不是衛星單方面地圍繞中心天體旋轉。而處於橢圓焦點位置上的就是它們共同的質量中心。只不過由於這些天體一般質量遠大於衛星，所以看起來是中心天體處於焦點的位置。

根據簡單幾何性質確定橢圓的方程

相關例題： 求與橢圓${\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {y^{2}}{3}}=1$有相同離心率，且經過點$2,-{\sqrt {3}}$的橢圓的標準方程。

準線

相關例題1： 已知動點M (x, y)與定點F (c, 0)的距離和該動點到定直線$L:{\frac {a^{2}}{c}}$的距離比是常數${\frac {c}{a}}\quad (0<c<a)$。求動點M的軌跡方程。

當動點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比為大於0且小於1的常數時，其軌跡就是橢圓周。其中的定點就是所得橢圓的焦點之一，比例常數就是橢圓的離心率，而定直線叫做橢圓的準線（directrix）。

上述橢圓與定點、定直線之間的固定比例關係也被用作橢圓的定義，在中學教科書或參考資料中常稱為「橢圓的第二定義」。

焦點在x軸上的標準橢圓有2個焦點，每一個焦點都有一條與之對應的準線：

• 對應於左焦點$F_{1}(-c,0)$的準線方程是$x=-{\frac {a^{2}}{c}}$
• 對應於右焦點$F_{2}(c,0)$的準線方程是$x={\frac {a^{2}}{c}}$

類似地，焦點在y軸上的標準橢圓也有2個焦點和2條準線：

• 對應於上焦點$F_{1}(c,0)$的準線方程是$y={\frac {a^{2}}{c}}$
• 對應於下焦點$F_{2}(-c,0)$的準線方程是$y=-{\frac {a^{2}}{c}}$

焦點到同側準線的距離叫做焦准距。

相關例題2： 求中心在原點，對稱軸在坐標軸上，離心率為${\frac {3}{5}}$，一條準線方程為$x={\frac {50}{3}}$的橢圓方程。

相關例題3： 有一個中心在原點、對稱軸都在坐標軸上的橢圓，它的短軸的一個端點於2個焦點構成的三角形的面積為12，且2條準線之間的距離為${\frac {25}{2}}$。求此橢圓的方程。

相關例題4： 求證對於一個標準橢圓，其上到焦點距離最近的點是靠近此焦點的頂點（近拱點）。

橢圓周上任意一點到其中某個焦點的距離叫做到該焦點的焦半徑。對於橢圓周上的每個點，都有2個不同的焦半徑。我們先來說明，如何藉助準線方程來得出焦半徑的計算公式。然後對運用焦半徑公式解題作舉例。

相關例題5： 設$F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)$是橢圓${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$的2個焦點，$P(x_{1},y_{1})$是該橢圓上的任意一點。分別求$|PF_{1}|,|PF_{2}|$。

橢圓的焦半徑公式如下：

• 以$F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)$為焦點、離心率為e的橢圓${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$上任意一點$P(x_{1},y_{1})$的焦半徑公式為：

$|PF_{1}|=a+ex_{1},|PF_{2}|=a-ex_{1}$

• 以$F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)$為焦點、離心率為e的橢圓${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$上任意一點$P(x_{1},y_{1})$的焦半徑公式為：

$|PF_{1}|=a+ey_{1},|PF_{2}|=a-ey_{1}$

相關例題6： 在橢圓${\frac {x^{2}}{25}}+{\frac {y^{2}}{9}}=1$上求一點P，使它到橢圓左焦點的距離是它到右焦點距離的2倍。

常用結論與常見模型

在有關橢圓的問題中，最為常見的是直線和橢圓的相交問題。常見考察點包括求直線與橢圓相交時的弦長、弦中點、夾角、軌跡，其中又以通過焦點的弦性質最為特殊。我們先看一般情形下的基本技巧和常用結論。

直線和橢圓相交時，常常需要設2個交點的坐標為$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，然後聯立方程組求解出交點即可依次計算出與所求結果相關的量。不過由於許多結論實際上並不依賴於具體的交點坐標，也就是與交點的位置無關，所以這些問題實際上可以不用明確求出交點，而是聯立方程後通過韋達定理得到2個解的和與積的關係，用這些量來間接套出結果。這種考法有2點意義：

• 說明解析幾何雖然涉及龐大計算量，但可以通過巧妙的代換方法適當簡化問題，而不是一味硬算出所有結果。使學生在解題過程中體會設而不求、整體代換這種數學思想的巧妙與優雅。
• 刻意考察和鍛煉學生在代數變形、整體思維方面的能力。很多弦長、中點、垂直、斜率一類的問題最終都能設法用二次方程的係數關係表示出來，檢驗學生轉化問題的能力。

下面提供聯立直線與標準橢圓方程的一些通用中間步驟供參考，讀者可以在解題時對照其中的係數，減少計算失誤。

將焦點在x軸上的標準橢圓與形如Ax + By + C = 0的直線方程聯立：
$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (a,b>0)\\Ax+By+C=0\quad (A\neq 0)\end{array}}\right.$
消去y，可得2個交點的x值滿足$(A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2})x^{2}+2ACa^{2}x+(C^{2}a^{2}-B^{2}a^{2}b^{2})=0$，
或者消去x，可得可得2個交點的y值滿足$(A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2})y^{2}+2BCb^{2}y+(C^{2}b^{2}-A^{2}a^{2}b^{2})=0$。
$\left\{{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}={\frac {-2ACa^{2}}{A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2}}}\\x_{1}x_{2}={\frac {C^{2}a^{2}-B^{2}a^{2}b^{2}}{A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2}}}\\y_{1}+y_{2}={\frac {-2BCb^{2}}{A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2}}}\\y_{1}y_{2}={\frac {C^{2}b^{2}-A^{2}a^{2}b^{2}}{A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2}}}\end{array}}\right.$

如果將直線的設法從一般式改為點斜式，那麼將焦點在x軸上的標準橢圓與形如kx - y + m = 0的直線方程聯立：
${\begin{array}{l}\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (a,b>0)\\kx-y+m=0\end{array}}\right.\\\Rightarrow (a^{2}k^{2}+b^{2})x^{2}+2kma^{2}x+a^{2}(m^{2}-b^{2})=0\\\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}={\frac {a^{2}\cdot k\cdot m\cdot (-2)}{a^{2}k^{2}+b^{2}}}\\x_{1}x_{2}={\frac {b^{2}\cdot (-1)\cdot m\cdot (-2)}{a^{2}k^{2}+b^{2}}}\\y_{1}+y_{2}=(kx_{1}+m)+(kx_{2}+m)={\frac {a^{2}(m^{2}-b^{2})}{a^{2}k^{2}+b^{2}}}\\y_{1}y_{2}=(kx_{1}+m)(kx_{2}+m)={\frac {b^{2}(m^{2}-a^{2}k^{2})}{a^{2}k^{2}+b^{2}}}\\x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}=x_{1}(kx_{2}+m)+x_{2}(kx_{1}+m)={\frac {a^{2}\cdot b^{2}\cdot k\cdot (-1)\cdot 2}{a^{2}k^{2}+b^{2}}}\\\Delta =4a^{2}b^{2}(a^{2}k^{2}+b^{2}-m^{2})\end{array}}\right.\end{array}}$

上面的例子表明，可以只得到消去y後的只含x的二次方程，得到$x_{1}+x_{2},x_{1}x_{2}$，其餘的$y_{1}+y_{2},y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}$等量都可以通過代入直線方程巧妙地使用$x_{1}+x_{2},x_{1}x_{2}$表達出來。

弦長公式

之前在學習圓的方程時介紹過的弦長公式也適用於直線與橢圓相交時的弦長計算。

相關例題1： 已知橢圓方程${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (0<b<a)$與直線x + y = 1交於A、B兩點，$|AB|=2{\sqrt {2}}$，AB的中點M與橢圓中心連線的斜率為${\frac {\sqrt {2}}{2}}$。求此橢圓的具體方程。

相關例題2： 求證在所有通過橢圓的弦中，只有與長軸重合的弦最長。

弦中點問題與點差法

求解直線與橢圓曲線相交形成的弦中點（或是論證涉及弦中點性質）時，除了聯立直線與橢圓方程求解，還可以將2個預設好的交點坐標分別代入橢圓方程，作差後得到弦中點坐標與斜率的關係。這種方法用到二次曲線之間作差和平方差公式化簡技巧，因此被叫做點差法。

點差法的具體做法為：

1. 設2個交點坐標分別為$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，並設AB的中點坐標為D (x, y)。
2. 將A、B兩點坐標分布獨立地代入橢圓方程。
3. 對得到的2個二次方程作差，並利用平方差公式作因式分解。
4. 將所得結果中的$x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}$兩項都改用中點坐標表示。此外，$x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2}$兩項此時容易湊到一起構成比例式${\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$，並且由於這條弦AB是由已知直線產生的，所以可以將此比值替換為已知直線的斜率k。
5. 化簡結果得到中點坐標或其軌跡方程，然後根據問題要求看是否還要求解有關弦中點的其它量。

相關例題1： 已知傾斜角為${\frac {\pi }{4}}$的直線與橢圓${\frac {x^{2}}{4}}+y^{2}=1$相交於A、B兩點。求線段AB中點的軌跡方程。

參考解答1：
設直線與橢圓的2個交點坐標分別為$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，且AB的中點坐標為D (x, y)。
因為所給直線只知道其傾斜角為${\frac {\pi }{4}}$（即斜率為1），所以設其方程為y = x + b。
由於直線與橢圓方程相交，將直線方程y = x + b代入已知橢圓方程${\frac {x^{2}}{4}}+y^{2}=1$可得：
${\begin{array}{l}{\frac {x^{2}}{4}}+(x+b)^{2}=1\quad \Rightarrow \quad {\frac {x^{2}}{4}}+x^{2}+2bx+b^{2}=1\\\Rightarrow x^{2}+4x^{2}+8bx+4b^{2}=4\quad \Rightarrow \quad 5x^{2}+8bx+4b^{2}-4=0\end{array}}$
其判別式$\Delta$滿足：$\Delta =(8b)^{2}-4\cdot 5\cdot (4b^{2}-4)>0\quad \Leftrightarrow \quad -{\sqrt {5}}<b<{\sqrt {5}}$
由於滿足上述二次方程的2個解就是題中2個交點的橫坐標，由韋達定理可知：
$x_{1}+x_{2}=-{\frac {8b}{5}}$
由於D點作為AB的中點，其橫坐標x滿足$x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$。
所以可用D點坐標對上式中出現的兩根之和作替換：
$2{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {8b}{5}}\quad \Rightarrow \quad 2x=-{\frac {8b}{5}}\quad \Rightarrow \quad x=-{\frac {4b}{5}}$
知道x的值後，根據直線方程也能得到$y=x+b=-{\frac {4b}{5}}+b={\frac {b}{5}}$。也即得到$\left\{{\begin{array}{l}x=-{\frac {4b}{5}}\\y={\frac {b}{5}}\end{array}}\right.$。
由於b是我們自己為了方便設的直線參數。按照題目的意思，答案應該儘量只用題中出現的信息表示。
為此我們可以解上述方程組消去b，得到答案x = -4y。
結合b的取值範圍，可知加上限制條件後的最終答案為：$x=-4y\quad (-{\frac {4{\sqrt {5}}}{5}}<x<{\frac {4{\sqrt {5}}}{5}})$。

參考解答2：
設交點$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，且AB中點為D (x, y)。
易知交點A和B都在橢圓上，所以單獨來看都滿足橢圓方程：
$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x_{1}^{2}}{4}}+y_{1}^{2}=1\\{\frac {x_{2}^{2}}{4}}+y_{2}^{2}=1\end{array}}\right.$
第1式減去第2式可得：
${\begin{array}{l}{\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}=0\\\Rightarrow {\frac {1}{4}}(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})+(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=0\end{array}}$
利用D (x, y)是AB中點這一條件，且AB斜率為1，可得：
${\begin{array}{l}{\frac {1}{2}}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\cdot (x_{1}-x_{2})+2\cdot {\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\cdot (y_{1}-y_{2})=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{2}}\cdot x\cdot (x_{1}-x_{2})+2\cdot y\cdot (y_{1}-y_{2})=0\\\Rightarrow {\frac {x}{2}}\cdot (x_{1}-x_{2})+2y(y_{1}-y_{2})=0\quad \Rightarrow \quad 2y(y_{1}-y_{2})=-{\frac {x}{2}}\cdot (x_{1}-x_{2})\\\Rightarrow {\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}=-{\frac {x}{4y}}\quad \Rightarrow \quad 1=-{\frac {x}{4y}}\end{array}}$
最後由於該軌跡方程表示的是直線，而符合題意的點只能在橢圓內部，所以我們只取$1=-{\frac {x}{4y}}$在橢圓內側的那一部分線段即可。

點評：對於解法1，初看起來，判別式大於0這一條件似乎用不上。但是由於後面得到的軌跡方程x = -4y表示一條直線，而顯然滿足題意在橢圓內的弦中點不可能是無限長的直線。所以我們還需要挖掘其它條件，以便確定其中的變量x和y的限制範圍。由於$5x^{2}+8bx+4b^{2}-4=0$存在2個解，所以剛好就有有判別式大於0這個條件可以用上。解法2很方便得到軌跡方程，但是不方便直接給出精確的取值範圍，所以我們只選擇結合文字說明。

相關例題2： 已知AB是橢圓${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (0<b<a)$不垂直於x軸的任意一條弦。P是AB的中點，O為橢圓的中心，也即此時的原點。求證直線AB和直線OP的斜率之積是定值。

參考證明：
設交點坐標$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})\quad (x_{1}\neq x_{2})$，及弦中點坐標P (x, y)。易知AB、OP的斜率都存在。
根據A、B分別在橢圓周上，先將它們分別代入橢圓方程：
$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1\\{\frac {x_{2}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{2}^{2}}{b^{2}}}=1\end{array}}\right.$
對兩式直接作差可得：
${\frac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{a^{2}}}=-{\frac {y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{b^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}=-{\frac {b^{2}(x_{1}+x_{2})}{a^{2}(y_{1}+y_{2})}}$
由於直線AB的斜率$k_{AB}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$，且直線OP的斜率$k_{OP}={\frac {y}{x}}={\frac {\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}={\frac {y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}}$，
所以上式可以繼續化簡為：
$k_{AB}=-{\frac {b^{2}(x_{1}+x_{2})}{a^{2}(y_{1}+y_{2})}}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}}{y_{1}+y_{2}}}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {1}{k_{OP}}}\quad \Leftrightarrow \quad k_{AB}\cdot k_{OP}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$
這說明$k_{AB}\cdot k_{OP}$為固定值$-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$。證明完畢。

相關例題3： 求證橢圓的平行弦中點共線。

相關例題4： 已知橢圓上$C:{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {y^{2}}{3}}=1$上存在不同的兩點關於直線4x - y + m = 0對稱。求實數m的取值範圍。

參考解答：
設橢圓上滿足題意的2個對稱點為$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，AB的中點為$M(x_{0},y_{0})$。
A、B兩點在橢圓周上，故可以將它們分別代入橢圓方程：
$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x_{1}^{2}}{4}}+{\frac {y_{1}^{2}}{3}}=0\\{\frac {x_{2}^{2}}{4}}+{\frac {y_{2}^{2}}{3}}=0\\\end{array}}\right.$
對上述兩式作差可得：
${\begin{array}{l}{\frac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{4}}+{\frac {y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{3}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{4}}=-{\frac {y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{3}}\\\Rightarrow {\frac {(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})}{4}}=-{\frac {(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})}{3}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {3(x_{1}+x_{2})}{4(y_{1}+y_{2})}}=-{\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\end{array}}$
代入中點M的坐標，可得：
${\frac {3{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}{4{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}}}=-{\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {3x_{0}}{4y_{0}}}=-{\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$
又因為AB關於斜率為4的直線4x - y + m = 0對稱，所以AB與該直線垂直，即AB的斜率為$-{\frac {1}{4}}$。於是上式可以繼續化簡：
${\frac {3x_{0}}{4y_{0}}}=-{\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}=-(-{\frac {1}{4}})\quad \Rightarrow \quad {\frac {3x_{0}}{4y_{0}}}={\frac {1}{4}}\quad \Rightarrow \quad 3x_{0}=y_{0}$
這說明點M的坐標滿足方程3x = y。但由於題目需要討論m的取值範圍，我們還需要設法引入m。
再由M也在直線4x - y + m = 0上可得：
$\left\{{\begin{array}{l}3x=y\\4x-y+m=0\end{array}}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}x=-m\\y=-3m\end{array}}\right.$
由點M (-m, -3m)在橢圓C內部，可得：
${\frac {(-m)^{2}}{4}}+{\frac {(-3m)^{2}}{3}}<1\quad \Rightarrow \quad {\frac {m^{2}}{4}}+3m^{2}<1\quad \Rightarrow \quad 13m^{2}<4\quad \Rightarrow \quad -{\frac {2{\sqrt {13}}}{13}}<m<{\frac {2{\sqrt {13}}}{13}}$

相關例題5： 橢圓$Q:{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (0<b<a)$的右焦點為F (c, 0)。過點F的一動直線m繞點F轉動，並且交橢圓於A、B兩點。P為線段AB的中點。求點P的軌跡H的方程。
（出自2006年中國大陸高考數學江西卷第Ⅱ卷第21題（解答題倒數第2題）第Ⅰ問。）

焦點弦問題與焦半徑公式補充

通過焦點的弦叫做焦點弦（focal chord）。

我們已經知道橢圓上任意一點到其中一個焦點的連線段都叫做焦半徑。這裡我們給出焦半徑的另一種與弦的傾斜角有關的計算公式。

設F是橢圓$C:{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (0<b<a)$的左焦點。AB是過此焦點的弦，且直線AB的傾斜角為$\theta$。橢圓周上的點A在x軸上方。則有焦半徑計算公式如下：

$|AF|={\frac {b^{2}}{a-c\cos \theta }}$

我們把這個公式叫做傾斜角式的焦半徑公式。

橢圓的參數方程

在正規位置上的橢圓的參數方程。參數 t 是藍線對於 X-軸的角度。

先前我們已經知道圓的參數方程是$\left\{{\begin{array}{l}x=\cos t\\y=\sin t\end{array}}\right.$，本節前文中又提到橢圓可視為是由圓通過伸縮變化得到的圖形，由此不難料想橢圓也存在與之形式相似的參數方程。

不妨對圓的參數方程作伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}x'=ax\quad (a>0)\\y'=by\quad (b>0)\end{array}}\right.$，可得：$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x'}{a}}=\cos t\\{\frac {y'}{b}}=\sin t\end{array}}\right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}x'=a\cos t\\y'=b\sin t\end{array}}\right.$
如果將這個方程中的新x'當作普通的x，新y'當作普通的y，一起代入橢圓的標準方程，易知符合橢圓的方程。因此，這就是以t為參變量的橢圓的參數方程（parametric equation(s) of an ellipse）。t具有某種角度的含義。

注意：橢圓參數方程中的參變量t原本是圓方程的角度參數，但是由於變換時沿x軸方向和沿y軸方程伸縮的程度並不相同（一個是變為a倍，一個是變為b倍），所以t作為的夾角含義變得比較微妙，不再直接代表橢圓上對應動點(x', y')的轉角。換句話說，比值${\frac {y'}{x'}}$（橢圓上動點與原點連線的斜率）與參變角t或是其正切值（$\tan t$）既不是相等的關係，也不是均勻變化的關係（也即非線性的）。前文所提到的數學家拉伊爾曾給出關於參數t的確切幾何含義。

中心位於原點、長軸平行於x軸的橢圓方程${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$可以參數化表達為：

$\left\{{\begin{array}{l}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{array}}\right.$

其中a和b分別代表長軸長度的一半和短軸長度的一半。t可以限制於區間$-\pi \leq t\leq \pi$上。

由此可以得到：

• 這個參數方程揭示了2個方向相互垂直的簡諧運動可以合成閉合的橢圓形周期性運動。關於簡諧運動合成效果的更一般的情形，可以見於常見平面曲線及其參數方程一節的介紹。
• 一般地，中心位於點$(h,k)$、長軸平行於x軸的橢圓方程${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$也可以參數化表達為$\left\{{\begin{array}{l}x=h+a\cos t\\y=k+b\sin t\end{array}}\right.$。

相關例題： 求橢圓$7x^{2}+4y^{2}=28$上的點，到直線3x - 2y - 16 = 0的最短距離。

橢圓的切線方程

求橢圓在某點處的切線方程，就是求與橢圓只有一個交點並通過指定點的直線。可以先設出通過給定點的切線方程，聯立直線與橢圓方程後，再通過令判別式取零來求解。

橢圓切線方程其它常見求法方法包括伸縮變換法、求導法，也有少見一點的如弦中點逼近法、不等式法。

以橢圓${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$為例，它在其上任意一點$P(x_{0},y_{0})$處的切線方程為：

${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$

提示：對於更一般的情形，可參見後續會介紹的圓錐曲線的切點弦方程與切線方程。

傾斜的橢圓

對橢圓（或橢球）的標準化處理是很常用的技巧，例如剛體力學中尋找轉動慣量的慣量主軸、統計學中主成分分析都要用到。

補充習題

參見

• 橢圓的極坐標方程（選學）
• 仿射變換及其應用（選學）
• 仿射幾何與射影幾何觀點下的圓錐曲線（選學）

外部連結

維基百科中的相關條目：

橢圓

維基百科中的相關條目：

焦點 (幾何)

維基百科中的相關條目：

離心率