高中数学/平面解析几何/椭圆

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

预备知识

阅读本节，需要先学习直线方程与圆方程的知识，并且务必熟悉韦达定理与平方项的代数变形技巧。

考试要求

在平面解析几何中，对椭圆的知识考察比例是最重的，而且综合考试中解析几何板块的大解答题一般都是考椭圆。主要有2个方面的原因。其一，椭圆是封闭图形，许多几何性质易于从直观上理解和把握。其次，椭圆的方程有一定的复杂性，在二次曲线的方程研究中具有代表性。

2010年3月9日，中华民国立法委员洪秀柱曾用3道题椭圆与抛物线的问题考当时的台湾教育部长，结果对方没能在指定时限内成功给出解答。洪以此事作为判断文科生学习椭圆等相关知识无用的依据。

基础知识

知识引入

直观上看，如果把圆沿特定方向压缩或伸长，得到的图形就是常说的椭圆（ellipse）。

一般来说，对圆的标准方程$x^{2}+y^{2}=r^{2}$同时作沿x与y方向的伸缩变换：

$\left\{{\begin{array}{l}x'=ax\quad (a>0)\\y'=by\quad (b>0)\end{array}}\right.$

可得：$({\frac {x'}{a}})'^{2}+({\frac {y'}{b}})^{2}=r^{2}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}=r^{2}$

这就是我们本节要学习的椭圆方程。不过，与先前所学的圆不同的是，椭圆还有好几种特有性质都可以用作其定义。换句话说，椭圆具有多种等价的定义方式。接下来，我们会采用一种更便于作图的方法定义并推导出椭圆的方程。

提示：(1)解析几何里所说的椭圆一律是指椭圆图形的轮廓线，也就是椭圆周。椭圆方程也是指椭圆轮廓线的方程，不包括其内侧的区域。我们说“点在椭圆上”，一般是指点在椭圆周上；说“点不在椭圆上”或“点在椭圆外”，一般都是指点不在椭圆周上。(2)椭圆（ellipse）和蛋形（oval）在外观上有些相似，在非数学资料中有时会互译，但在数学上并不是同一个概念。

提示：有关圆与椭圆之间伸缩变换的知识是大学阶段“解析几何”或“高等几何”课程的知识点，在高中阶段可能也会在仿射矩阵知识中有所接触，但一般并不是高中解析几何的学习内容。有兴趣的读者可以参阅仿射几何的相关知识。有一些习题或考题会隐蔽地涉及到在仿射变换下对圆与椭圆同时都成立的命题。

椭圆的标准方程

设平面内的x轴上有2个固定点$F_{1}(-c,0),F_{2}(0,c)\quad (c>0)$。我们断言，平面上到这2个定点的距离之和为定值$2a\quad (a>c)$的动点的轨迹就是椭圆。
为此，设满足条件的动点为M (x, y)，则已知约束条件等价于$|MF_{1}|+|MF_{2}|=2a$。
利用平面上两点间的距离公式可得：
$|MF_{1}|+|MF_{2}|=2a\quad \Leftrightarrow \quad {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a$
由于式中含有2个分离的根式，先后进行2次巧妙的移项和平方后，可以整理得到：
$(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$
因为a > c，所以$a^{2}-c^{2}>0$。不妨记$b^{2}=a^{2}-c^{2}$，则有：
$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

通过这样的方式，我们也得到了椭圆的方程。其中的a叫做该椭圆的半长轴（semi-major axis），它可以理解为椭圆长度的一半；b叫做半短轴（semi-minor axis），它可以理解为椭圆宽度的一半；点$F_{1},F_{2}$都叫做椭圆的焦点（focus，复数形式：foci），它们是该定义下椭圆的构造基础；c叫做半焦距，它描述了焦点偏离其椭圆几何中心的程度。

提示：后面会提到，焦距、焦点的概念名称都来自于椭圆特殊的光学性质。

提示：焦点的英文复数形式“foci”读作/ˈfəʊ.kʰaɪ/（英式）或/ˈfoʊ.sʰaɪ/（美式）。

类似地，交换x与y的位置，仍然可以模仿上述论证过程得到焦点在点$F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)$的椭圆的方程为： ${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1\quad (a>b>0)$

我们将上述结论作为椭圆的新定义如下：

定义平面上到2个定点的距离之和为常数（该常数大于2个给定点之间的距离）的点的轨迹为椭圆。这2个定点叫做椭圆的焦点，它们之间的间距叫做焦距。

在平面直角坐标系中，焦点在点$F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)$的椭圆的标准方程（ellipse standard equation或equation of ellipse in standard form）为： ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (a>b>0)$

在平面直角坐标系中，焦点在点$F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)$的椭圆的标准方程为： ${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1\quad (a>b>0)$

无论上述哪一种情况，都有关系式$a^{2}=b^{2}+c^{2}$成立。

为了称呼的简便，我们把用这2种标准方程描述的椭圆都叫做标准椭圆。

焦点在x轴上的椭圆和在y轴上的椭圆，几何性质没有本质的区别，只是坐标系的选取角度的差异。在论证椭圆的几何性质时，我们往往只需要巧妙选择坐标系，针对焦点在x轴的标准椭圆进行处理，此时得到的结论也会适用于朝向不同方位的其它椭圆。

提示：解析几何的运算量往往比较大。合理地选择坐标系能够极大地简化运算过程。所以我们优先选择把椭圆的焦点固定在坐标轴上，对于这种标准椭圆的分析和计算会相对容易很多。后面将会看到，对于坐标系已提前取定的更一般的平面椭圆方程（焦点不一定在直接坐标系的坐标轴上），原则上也可以通过坐标系的旋转变换技巧，将其转换为与标准椭圆完全相似的情形。

椭圆早在古希腊时代就已经有数学家研究。由于其与圆锥截面的联系，亚里士塔欧（Aristaeus，公元前4世纪）将其归类为“圆锥曲线”（conic section(s)）中的一种。古希腊几何学名家阿波罗尼奥斯在其《圆锥曲线论》一书中，使用传统的几何方法费力地论证了椭圆轨迹上任意一点到2个焦点的距离为定值的结论。在此基础上，拜占庭数学家安提缪斯（Anthemius，约474年－534年）发明了椭圆的“两钉一绳”画法。后来法国天文学家菲利普·拉伊尔（Philippe de La Hire，1640年－1719年）正式以平面上到2个固定点的距离之和为常数的轨迹来重新定义椭圆。约20年后，洛必达侯爵（Marquis de L’Hospital，1661年－1704年）根据拉伊尔给出的椭圆定义，成功地推导出了椭圆的方程。

提示：除了原始的“两钉一绳”画法，椭圆还可以使用一种专门的椭圆规作出。

使用待定系数法或定义求椭圆的方程

相关例题1： P (2, k) and Q (2, -k) are the points of the ellipse ${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{4}}=1$. Find the value of k.

相关例题2： 已知定点B (3, 0)和一个以点$C_{0}$为圆心的圆$C:(x+3)^{2}+y^{2}=100$。P是圆周上的一个动点，线段BP的垂直平分线交$C_{0}P$的延长线于点M。求M的轨迹方程。

椭圆的简单几何性质

范围

由焦点在x轴的椭圆标准方程可知：
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\leq 1\\{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\leq 1\end{array}}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}x^{2}\leq a^{2}\\y^{2}\leq b^{2}\end{array}}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}-a\leq x\leq a\\-b\leq y\leq b\end{array}}\right.$
所以椭圆周上的点都满足上式不等关系。而且，这也说明椭圆位于4条直线$x=\pm a,y=\pm b$所围成的矩形内。
对于焦点在y轴上的椭圆有类似结果。

对称性

在椭圆的标准方程（无论焦点在哪个坐标轴上）中，用-x取代x，或是用-y取代y，或者同时对x和y正负取反，方程的形式都不变。这说明椭圆的标准方程具有形式对称性。另一方面，对于任何一个满足标准椭圆方程的点$P(x_{0},y_{0})$，如果求出它关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标，也容易发现这些对称点也都满足原来的椭圆方程。这说明椭圆的标准方程具有几何对称性。

更直观地看，这些事实说明标准椭圆同时具有下列对称性：

• 关于x轴是轴对称的。
• 关于y轴是轴对称的。
• 关于坐标系原点是中心对称的。

我们就把椭圆的中心对称点（对称中心）叫做椭圆的中心（center of an ellispe）。直观上看，它也是椭圆的几何中心。

长短轴和顶点

为叙述方便，我们考虑焦点在x轴上的标准椭圆。设此椭圆与2个焦点所在直线的交点分别为$A_{1},A_{2}$，记坐标系原点为O。由椭圆“两钉一绳”的作图法可知，在椭圆周上，只有2个交点$A_{1},A_{2}$是距离椭圆中心最远的点。并且通过椭圆标准方程，容易求出曲线与x轴的交点位置为$x=\pm a,y=0$。如果$A_{1}$是线段$A_{1}A_{2}$上偏左的点，那么它们的坐标位置分别就为$A_{1}=(-a,0),A_{2}=(a,0)$。我们把线段$A_{1}A_{2}$叫做椭圆的长轴，$OA_{1}$或$OA_{2}$以及它们的数值大小都叫做椭圆的半长轴。

类似地，可以求得此椭圆标准方程与y轴也有2个交点，位置为$x=0,y=\pm b$。不妨设它们为$B_{1}(0,b),B_{2}(0,-b)$。我们断言$B_{1},B_{2}$是此椭圆周上2个到椭圆中心距离最短的点。
为说明这一点，设椭圆上动点M (x, y)到椭圆中心（原点）的距离为d。由两点距离公式及M满足椭圆方程可得：
${\begin{array}{l}\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad \Rightarrow \quad y^{2}=b^{2}(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}})\\d^{2}=x^{2}+y^{2}\end{array}}\right.\\\quad \Rightarrow \quad d^{2}=x^{2}+b^{2}(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}})=x^{2}+b^{2}-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}=(1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}})x^{2}+b^{2}\end{array}}$
由此可见，x的绝对值越小，对应的M点到中心的距离d也越小。即有$x=0,y=\pm b$时，距离d取到最小值b。

因为上述原因，椭圆除长轴外，还可以定义出短轴。我们把上述焦点在x轴上的标准椭圆与y轴的2个交点的连线段$B_{1}B_{2}$叫做椭圆的短轴，$OB_{1}=OB_{2}$叫做半短轴。不难发现不论是焦点在x轴还是在y轴，标准椭圆的长轴长度永远是2a，短轴长度永远是2b。当长轴和短轴变为一样长时，椭圆退化为圆形。

最后标准椭圆与坐标轴的4个交点刻画了椭圆的关键位置与对称性信息，我们将它们都称为椭圆的端点。

椭圆周上到椭圆中心最远的2个点之间的连线段叫做椭圆的长轴，最短的2个点之间的连线段叫做椭圆的短轴，长轴和短轴与椭圆周的交点都叫做椭圆的端点（或顶点）。

相关例题： 试通过代数变形，严格论证在椭圆周上，只有长轴上的2个端点到椭圆中心的距离最长。

离心率

由于有的椭圆可以很扁，也有的可以很圆，所以需要寻找一种方式衡量椭圆形状整体的弯曲程度。最一个容易的想到的方法是考察长短轴的比例值。当长轴和短轴的长度接近时，就表示椭圆接近圆形；反之则偏离圆形，变得比较扁。这对于研究椭圆来说是完全没问题的。

不过，后来人们还发现椭圆和其它一些二次曲线也存在密切联系，而它们的共同几何特征都适合用下面的特殊比值来定义：

椭圆焦距与长轴长度的比例，叫做椭圆的离心率或偏心距（eccentricity）。易知对于一个标准椭圆，其离心率为$e={\frac {c}{a}}<1$。

离心率可以与椭圆长短轴的长度比建立起联系，从而也可以衡量椭圆外形的弯曲程度。为此，我们仍然通过长短轴的比例来分析离心率对椭圆形状的影响：
${\frac {b}{a}}={\sqrt {\frac {b^{2}}{a^{2}}}}={\sqrt {\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}}}}={\sqrt {1-({\frac {c}{a}})^{2}}}={\sqrt {1-e^{2}}}\quad (0<e<1)$
由于$f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}\quad (0<x<1)$是一个单调递减的函数，且a与b的比值越接近1时，椭圆才越接近圆形，所以可得：

离心率对椭圆形状的影响（设长轴长度的一半和短轴长度的一半分别为a、b）：

• 当离心率e的值越接近0时，比值${\frac {b}{a}}$结果越接近1，说明a与b差异越小，椭圆越圆。
• 当离心率e的值越接近1时，比值${\frac {b}{a}}$结果越接近0，说明a与b差异越大，椭圆越扁。

离心率的说法来源于天文学，其中的“心”指的不是椭圆的旋转中心，而是椭圆轨道的万有引力中心，也就是椭圆的其中某个焦点。约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler，1571年－1630年）最先发现了椭圆轨迹可以描述天体的运动规律。根据开普勒总结的定律，不会跑丢的卫星绕中心天体的运动轨迹是椭圆，并且中心天体一定会处于椭圆的其中一个焦点上。

假设有1个卫星天体绕某一中心天体沿着椭圆周轨道运动。记离中心天体（焦点）最近的长轴端点叫做近拱点（periapsis），离中心天体最远的端点叫做远拱点（apoapsis）。再记近拱点到中心天体的距离为$r_{p}=a-c$，再记远拱点到中心天体的距离为$r_{a}=a+c$。则有：
$|{\frac {d_{a}-d_{p}}{d_{a}+d_{p}}}|={\frac {(a+c)-(a-c)}{(a+c)+(a-c)}}={\frac {2c}{2a}}=e$
因此离心率也可以解释为中心天体到近拱点距离和到远拱点距离的相对差距。

提示：严格来说，根据有关牛顿万有引力定理的知识，还可推知这些天体和卫星实际上组成的是二体或多体系统，它们应该是围绕共同构成的质量中心旋转，而不是卫星单方面地围绕中心天体旋转。而处于椭圆焦点位置上的就是它们共同的质量中心。只不过由于这些天体一般质量远大于卫星，所以看起来是中心天体处于焦点的位置。

根据简单几何性质确定椭圆的方程

相关例题： 求与椭圆${\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {y^{2}}{3}}=1$有相同离心率，且经过点$2,-{\sqrt {3}}$的椭圆的标准方程。

准线

相关例题1： 已知动点M (x, y)与定点F (c, 0)的距离和该动点到定直线$L:{\frac {a^{2}}{c}}$的距离比是常数${\frac {c}{a}}\quad (0<c<a)$。求动点M的轨迹方程。

当动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比为大于0且小于1的常数时，其轨迹就是椭圆周。其中的定点就是所得椭圆的焦点之一，比例常数就是椭圆的离心率，而定直线叫做椭圆的准线（directrix）。

上述椭圆与定点、定直线之间的固定比例关系也被用作椭圆的定义，在中学教科书或参考资料中常称为“椭圆的第二定义”。

焦点在x轴上的标准椭圆有2个焦点，每一个焦点都有一条与之对应的准线：

• 对应于左焦点$F_{1}(-c,0)$的准线方程是$x=-{\frac {a^{2}}{c}}$
• 对应于右焦点$F_{2}(c,0)$的准线方程是$x={\frac {a^{2}}{c}}$

类似地，焦点在y轴上的标准椭圆也有2个焦点和2条准线：

• 对应于上焦点$F_{1}(c,0)$的准线方程是$y={\frac {a^{2}}{c}}$
• 对应于下焦点$F_{2}(-c,0)$的准线方程是$y=-{\frac {a^{2}}{c}}$

焦点到同侧准线的距离叫做焦准距。

相关例题2： 求中心在原点，对称轴在坐标轴上，离心率为${\frac {3}{5}}$，一条准线方程为$x={\frac {50}{3}}$的椭圆方程。

相关例题3： 有一个中心在原点、对称轴都在坐标轴上的椭圆，它的短轴的一个端点于2个焦点构成的三角形的面积为12，且2条准线之间的距离为${\frac {25}{2}}$。求此椭圆的方程。

相关例题4： 求证对于一个标准椭圆，其上到焦点距离最近的点是靠近此焦点的顶点（近拱点）。

椭圆周上任意一点到其中某个焦点的距离叫做到该焦点的焦半径。对于椭圆周上的每个点，都有2个不同的焦半径。我们先来说明，如何借助准线方程来得出焦半径的计算公式。然后对运用焦半径公式解题作举例。

相关例题5： 设$F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)$是椭圆${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$的2个焦点，$P(x_{1},y_{1})$是该椭圆上的任意一点。分别求$|PF_{1}|,|PF_{2}|$。

椭圆的焦半径公式如下：

• 以$F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)$为焦点、离心率为e的椭圆${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$上任意一点$P(x_{1},y_{1})$的焦半径公式为：

$|PF_{1}|=a+ex_{1},|PF_{2}|=a-ex_{1}$

• 以$F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)$为焦点、离心率为e的椭圆${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$上任意一点$P(x_{1},y_{1})$的焦半径公式为：

$|PF_{1}|=a+ey_{1},|PF_{2}|=a-ey_{1}$

相关例题6： 在椭圆${\frac {x^{2}}{25}}+{\frac {y^{2}}{9}}=1$上求一点P，使它到椭圆左焦点的距离是它到右焦点距离的2倍。

常用结论与常见模型

在有关椭圆的问题中，最为常见的是直线和椭圆的相交问题。常见考察点包括求直线与椭圆相交时的弦长、弦中点、夹角、轨迹，其中又以通过焦点的弦性质最为特殊。我们先看一般情形下的基本技巧和常用结论。

直线和椭圆相交时，常常需要设2个交点的坐标为$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，然后联立方程组求解出交点即可依次计算出与所求结果相关的量。不过由于许多结论实际上并不依赖于具体的交点坐标，也就是与交点的位置无关，所以这些问题实际上可以不用明确求出交点，而是联立方程后通过韦达定理得到2个解的和与积的关系，用这些量来间接套出结果。这种考法有2点意义：

• 说明解析几何虽然涉及庞大计算量，但可以通过巧妙的代换方法适当简化问题，而不是一味硬算出所有结果。使学生在解题过程中体会设而不求、整体代换这种数学思想的巧妙与优雅。
• 刻意考察和锻炼学生在代数变形、整体思维方面的能力。很多弦长、中点、垂直、斜率一类的问题最终都能设法用二次方程的系数关系表示出来，检验学生转化问题的能力。

下面提供联立直线与标准椭圆方程的一些通用中间步骤供参考，读者可以在解题时对照其中的系数，减少计算失误。

将焦点在x轴上的标准椭圆与形如Ax + By + C = 0的直线方程联立：
$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (a,b>0)\\Ax+By+C=0\quad (A\neq 0)\end{array}}\right.$
消去y，可得2个交点的x值满足$(A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2})x^{2}+2ACa^{2}x+(C^{2}a^{2}-B^{2}a^{2}b^{2})=0$，
或者消去x，可得可得2个交点的y值满足$(A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2})y^{2}+2BCb^{2}y+(C^{2}b^{2}-A^{2}a^{2}b^{2})=0$。
$\left\{{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}={\frac {-2ACa^{2}}{A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2}}}\\x_{1}x_{2}={\frac {C^{2}a^{2}-B^{2}a^{2}b^{2}}{A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2}}}\\y_{1}+y_{2}={\frac {-2BCb^{2}}{A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2}}}\\y_{1}y_{2}={\frac {C^{2}b^{2}-A^{2}a^{2}b^{2}}{A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2}}}\end{array}}\right.$

如果将直线的设法从一般式改为点斜式，那么将焦点在x轴上的标准椭圆与形如kx - y + m = 0的直线方程联立：
${\begin{array}{l}\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (a,b>0)\\kx-y+m=0\end{array}}\right.\\\Rightarrow (a^{2}k^{2}+b^{2})x^{2}+2kma^{2}x+a^{2}(m^{2}-b^{2})=0\\\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}={\frac {a^{2}\cdot k\cdot m\cdot (-2)}{a^{2}k^{2}+b^{2}}}\\x_{1}x_{2}={\frac {b^{2}\cdot (-1)\cdot m\cdot (-2)}{a^{2}k^{2}+b^{2}}}\\y_{1}+y_{2}=(kx_{1}+m)+(kx_{2}+m)={\frac {a^{2}(m^{2}-b^{2})}{a^{2}k^{2}+b^{2}}}\\y_{1}y_{2}=(kx_{1}+m)(kx_{2}+m)={\frac {b^{2}(m^{2}-a^{2}k^{2})}{a^{2}k^{2}+b^{2}}}\\x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}=x_{1}(kx_{2}+m)+x_{2}(kx_{1}+m)={\frac {a^{2}\cdot b^{2}\cdot k\cdot (-1)\cdot 2}{a^{2}k^{2}+b^{2}}}\\\Delta =4a^{2}b^{2}(a^{2}k^{2}+b^{2}-m^{2})\end{array}}\right.\end{array}}$

上面的例子表明，可以只得到消去y后的只含x的二次方程，得到$x_{1}+x_{2},x_{1}x_{2}$，其余的$y_{1}+y_{2},y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}$等量都可以通过代入直线方程巧妙地使用$x_{1}+x_{2},x_{1}x_{2}$表达出来。

弦长公式

之前在学习圆的方程时介绍过的弦长公式也适用于直线与椭圆相交时的弦长计算。

相关例题1： 已知椭圆方程${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (0<b<a)$与直线x + y = 1交于A、B两点，$|AB|=2{\sqrt {2}}$，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率为${\frac {\sqrt {2}}{2}}$。求此椭圆的具体方程。

相关例题2： 求证在所有通过椭圆的弦中，只有与长轴重合的弦最长。

弦中点问题与点差法

求解直线与椭圆曲线相交形成的弦中点（或是论证涉及弦中点性质）时，除了联立直线与椭圆方程求解，还可以将2个预设好的交点坐标分别代入椭圆方程，作差后得到弦中点坐标与斜率的关系。这种方法用到二次曲线之间作差和平方差公式化简技巧，因此被叫做点差法。

点差法的具体做法为：

1. 设2个交点坐标分别为$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，并设AB的中点坐标为D (x, y)。
2. 将A、B两点坐标分布独立地代入椭圆方程。
3. 对得到的2个二次方程作差，并利用平方差公式作因式分解。
4. 将所得结果中的$x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}$两项都改用中点坐标表示。此外，$x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2}$两项此时容易凑到一起构成比例式${\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$，并且由于这条弦AB是由已知直线产生的，所以可以将此比值替换为已知直线的斜率k。
5. 化简结果得到中点坐标或其轨迹方程，然后根据问题要求看是否还要求解有关弦中点的其它量。

相关例题1： 已知倾斜角为${\frac {\pi }{4}}$的直线与椭圆${\frac {x^{2}}{4}}+y^{2}=1$相交于A、B两点。求线段AB中点的轨迹方程。

参考解答1：
设直线与椭圆的2个交点坐标分别为$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，且AB的中点坐标为D (x, y)。
因为所给直线只知道其倾斜角为${\frac {\pi }{4}}$（即斜率为1），所以设其方程为y = x + b。
由于直线与椭圆方程相交，将直线方程y = x + b代入已知椭圆方程${\frac {x^{2}}{4}}+y^{2}=1$可得：
${\begin{array}{l}{\frac {x^{2}}{4}}+(x+b)^{2}=1\quad \Rightarrow \quad {\frac {x^{2}}{4}}+x^{2}+2bx+b^{2}=1\\\Rightarrow x^{2}+4x^{2}+8bx+4b^{2}=4\quad \Rightarrow \quad 5x^{2}+8bx+4b^{2}-4=0\end{array}}$
其判别式$\Delta$满足：$\Delta =(8b)^{2}-4\cdot 5\cdot (4b^{2}-4)>0\quad \Leftrightarrow \quad -{\sqrt {5}}<b<{\sqrt {5}}$
由于满足上述二次方程的2个解就是题中2个交点的横坐标，由韦达定理可知：
$x_{1}+x_{2}=-{\frac {8b}{5}}$
由于D点作为AB的中点，其横坐标x满足$x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$。
所以可用D点坐标对上式中出现的两根之和作替换：
$2{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {8b}{5}}\quad \Rightarrow \quad 2x=-{\frac {8b}{5}}\quad \Rightarrow \quad x=-{\frac {4b}{5}}$
知道x的值后，根据直线方程也能得到$y=x+b=-{\frac {4b}{5}}+b={\frac {b}{5}}$。也即得到$\left\{{\begin{array}{l}x=-{\frac {4b}{5}}\\y={\frac {b}{5}}\end{array}}\right.$。
由于b是我们自己为了方便设的直线参数。按照题目的意思，答案应该尽量只用题中出现的信息表示。
为此我们可以解上述方程组消去b，得到答案x = -4y。
结合b的取值范围，可知加上限制条件后的最终答案为：$x=-4y\quad (-{\frac {4{\sqrt {5}}}{5}}<x<{\frac {4{\sqrt {5}}}{5}})$。

参考解答2：
设交点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，且AB中点为D (x, y)。
易知交点A和B都在椭圆上，所以单独来看都满足椭圆方程：
$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x_{1}^{2}}{4}}+y_{1}^{2}=1\\{\frac {x_{2}^{2}}{4}}+y_{2}^{2}=1\end{array}}\right.$
第1式减去第2式可得：
${\begin{array}{l}{\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}=0\\\Rightarrow {\frac {1}{4}}(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})+(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=0\end{array}}$
利用D (x, y)是AB中点这一条件，且AB斜率为1，可得：
${\begin{array}{l}{\frac {1}{2}}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\cdot (x_{1}-x_{2})+2\cdot {\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\cdot (y_{1}-y_{2})=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{2}}\cdot x\cdot (x_{1}-x_{2})+2\cdot y\cdot (y_{1}-y_{2})=0\\\Rightarrow {\frac {x}{2}}\cdot (x_{1}-x_{2})+2y(y_{1}-y_{2})=0\quad \Rightarrow \quad 2y(y_{1}-y_{2})=-{\frac {x}{2}}\cdot (x_{1}-x_{2})\\\Rightarrow {\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}=-{\frac {x}{4y}}\quad \Rightarrow \quad 1=-{\frac {x}{4y}}\end{array}}$
最后由于该轨迹方程表示的是直线，而符合题意的点只能在椭圆内部，所以我们只取$1=-{\frac {x}{4y}}$在椭圆内侧的那一部分线段即可。

点评：对于解法1，初看起来，判别式大于0这一条件似乎用不上。但是由于后面得到的轨迹方程x = -4y表示一条直线，而显然满足题意在椭圆内的弦中点不可能是无限长的直线。所以我们还需要挖掘其它条件，以便确定其中的变量x和y的限制范围。由于$5x^{2}+8bx+4b^{2}-4=0$存在2个解，所以刚好就有有判别式大于0这个条件可以用上。解法2很方便得到轨迹方程，但是不方便直接给出精确的取值范围，所以我们只选择结合文字说明。

相关例题2： 已知AB是椭圆${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (0<b<a)$不垂直于x轴的任意一条弦。P是AB的中点，O为椭圆的中心，也即此时的原点。求证直线AB和直线OP的斜率之积是定值。

参考证明：
设交点坐标$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})\quad (x_{1}\neq x_{2})$，及弦中点坐标P (x, y)。易知AB、OP的斜率都存在。
根据A、B分别在椭圆周上，先将它们分别代入椭圆方程：
$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1\\{\frac {x_{2}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{2}^{2}}{b^{2}}}=1\end{array}}\right.$
对两式直接作差可得：
${\frac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{a^{2}}}=-{\frac {y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{b^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}=-{\frac {b^{2}(x_{1}+x_{2})}{a^{2}(y_{1}+y_{2})}}$
由于直线AB的斜率$k_{AB}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$，且直线OP的斜率$k_{OP}={\frac {y}{x}}={\frac {\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}={\frac {y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}}$，
所以上式可以继续化简为：
$k_{AB}=-{\frac {b^{2}(x_{1}+x_{2})}{a^{2}(y_{1}+y_{2})}}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}}{y_{1}+y_{2}}}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {1}{k_{OP}}}\quad \Leftrightarrow \quad k_{AB}\cdot k_{OP}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$
这说明$k_{AB}\cdot k_{OP}$为固定值$-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$。证明完毕。

相关例题3： 求证椭圆的平行弦中点共线。

相关例题4： 已知椭圆上$C:{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {y^{2}}{3}}=1$上存在不同的两点关于直线4x - y + m = 0对称。求实数m的取值范围。

参考解答：
设椭圆上满足题意的2个对称点为$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，AB的中点为$M(x_{0},y_{0})$。
A、B两点在椭圆周上，故可以将它们分别代入椭圆方程：
$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x_{1}^{2}}{4}}+{\frac {y_{1}^{2}}{3}}=0\\{\frac {x_{2}^{2}}{4}}+{\frac {y_{2}^{2}}{3}}=0\\\end{array}}\right.$
对上述两式作差可得：
${\begin{array}{l}{\frac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{4}}+{\frac {y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{3}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{4}}=-{\frac {y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{3}}\\\Rightarrow {\frac {(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})}{4}}=-{\frac {(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})}{3}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {3(x_{1}+x_{2})}{4(y_{1}+y_{2})}}=-{\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\end{array}}$
代入中点M的坐标，可得：
${\frac {3{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}{4{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}}}=-{\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {3x_{0}}{4y_{0}}}=-{\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$
又因为AB关于斜率为4的直线4x - y + m = 0对称，所以AB与该直线垂直，即AB的斜率为$-{\frac {1}{4}}$。于是上式可以继续化简：
${\frac {3x_{0}}{4y_{0}}}=-{\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}=-(-{\frac {1}{4}})\quad \Rightarrow \quad {\frac {3x_{0}}{4y_{0}}}={\frac {1}{4}}\quad \Rightarrow \quad 3x_{0}=y_{0}$
这说明点M的坐标满足方程3x = y。但由于题目需要讨论m的取值范围，我们还需要设法引入m。
再由M也在直线4x - y + m = 0上可得：
$\left\{{\begin{array}{l}3x=y\\4x-y+m=0\end{array}}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}x=-m\\y=-3m\end{array}}\right.$
由点M (-m, -3m)在椭圆C内部，可得：
${\frac {(-m)^{2}}{4}}+{\frac {(-3m)^{2}}{3}}<1\quad \Rightarrow \quad {\frac {m^{2}}{4}}+3m^{2}<1\quad \Rightarrow \quad 13m^{2}<4\quad \Rightarrow \quad -{\frac {2{\sqrt {13}}}{13}}<m<{\frac {2{\sqrt {13}}}{13}}$

相关例题5： 椭圆$Q:{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (0<b<a)$的右焦点为F (c, 0)。过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点。P为线段AB的中点。求点P的轨迹H的方程。
（出自2006年中国大陆高考数学江西卷第Ⅱ卷第21题（解答题倒数第2题）第Ⅰ问。）

焦点弦问题与焦半径公式补充

通过焦点的弦叫做焦点弦（focal chord）。

我们已经知道椭圆上任意一点到其中一个焦点的连线段都叫做焦半径。这里我们给出焦半径的另一种与弦的倾斜角有关的计算公式。

设F是椭圆$C:{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (0<b<a)$的左焦点。AB是过此焦点的弦，且直线AB的倾斜角为$\theta$。椭圆周上的点A在x轴上方。则有焦半径计算公式如下：

$|AF|={\frac {b^{2}}{a-c\cos \theta }}$

我们把这个公式叫做倾斜角式的焦半径公式。

椭圆的参数方程

在正規位置上的橢圓的參數方程。參數 t 是藍線對於 X-軸的角度。

先前我们已经知道圆的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}x=\cos t\\y=\sin t\end{array}}\right.$，本节前文中又提到椭圆可视为是由圆通过伸缩变化得到的图形，由此不难料想椭圆也存在与之形式相似的参数方程。

不妨对圆的参数方程作伸缩变换$\left\{{\begin{array}{l}x'=ax\quad (a>0)\\y'=by\quad (b>0)\end{array}}\right.$，可得：$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {x'}{a}}=\cos t\\{\frac {y'}{b}}=\sin t\end{array}}\right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}x'=a\cos t\\y'=b\sin t\end{array}}\right.$
如果将这个方程中的新x'当作普通的x，新y'当作普通的y，一起代入椭圆的标准方程，易知符合椭圆的方程。因此，这就是以t为参变量的椭圆的参数方程（parametric equation(s) of an ellipse）。t具有某种角度的含义。

注意：椭圆参数方程中的参变量t原本是圆方程的角度参数，但是由于变换时沿x轴方向和沿y轴方程伸缩的程度并不相同（一个是变为a倍，一个是变为b倍），所以t作为的夹角含义变得比较微妙，不再直接代表椭圆上对应动点(x', y')的转角。换句话说，比值${\frac {y'}{x'}}$（椭圆上动点与原点连线的斜率）与参变角t或是其正切值（$\tan t$）既不是相等的关系，也不是均匀变化的关系（也即非线性的）。前文所提到的数学家拉伊尔曾给出关于参数t的确切几何含义。

中心位于原点、长轴平行于x轴的椭圆方程${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$可以参数化表达为：

$\left\{{\begin{array}{l}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{array}}\right.$

其中a和b分别代表长轴长度的一半和短轴长度的一半。t可以限制于区间$-\pi \leq t\leq \pi$上。

由此可以得到：

• 这个参数方程揭示了2个方向相互垂直的简谐运动可以合成闭合的椭圆形周期性运动。关于简谐运动合成效果的更一般的情形，可以见于常见平面曲线及其参数方程一节的介绍。
• 一般地，中心位于点$(h,k)$、长轴平行于x轴的椭圆方程${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$也可以参数化表达为$\left\{{\begin{array}{l}x=h+a\cos t\\y=k+b\sin t\end{array}}\right.$。

相关例题： 求椭圆$7x^{2}+4y^{2}=28$上的点，到直线3x - 2y - 16 = 0的最短距离。

椭圆的切线方程

求椭圆在某点处的切线方程，就是求与椭圆只有一个交点并通过指定点的直线。可以先设出通过给定点的切线方程，联立直线与椭圆方程后，再通过令判别式取零来求解。

椭圆切线方程其它常见求法方法包括伸缩变换法、求导法，也有少见一点的如弦中点逼近法、不等式法。

以椭圆${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$为例，它在其上任意一点$P(x_{0},y_{0})$处的切线方程为：

${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$

提示：对于更一般的情形，可参见后续会介绍的圆锥曲线的切点弦方程与切线方程。

倾斜的椭圆

对椭圆（或椭球）的标准化处理是很常用的技巧，例如刚体力学中寻找转动惯量的惯量主轴、统计学中主成分分析都要用到。

补充习题

参见

• 椭圆的极坐标方程（选学）
• 仿射变换及其应用（选学）
• 仿射几何与射影几何观点下的圆锥曲线（选学）

外部链接

维基百科中的相关条目：

椭圆

维基百科中的相关条目：

焦点 (几何)

维基百科中的相关条目：

离心率