數論 > 初等數論 > 初等數論/整數的基本性質
數論是奠基於算術之上的,所以在學習數論之前,要先知道以下關於整數的性質:
整數集合,即所有的整數,像0,1,-1,2,-2,......這一些整數形成的集合,就叫整數集合,或以
表示,自然數
為其子集,但奇怪的是,整數集合和正整數集合內部的元素數量竟相等
整數集合的性質符合環的性質,意即其加減乘法皆自封(若對一種定義在X上的運算Y,當a和b皆為X的元素時,aYb亦為X的元素,則稱運算Y自封),以下將說明整數集合的性質
若有一個命題
,若能證明
對
或其他給定的起始正整數
成立,且在假設對一個正整數
(或前面給定的正整數
),命題
成立時,亦能證明
時命題
成立,則命題
對所有
或
皆成立,除了本法以外,尚有第二種數學歸納法,第二種數學歸納法將在稍後說明
加法使用符號+,
加
,或稱
和
相加可記為
整數集合的加法(和減法)是封閉的(若
裏面的元素透過一個定義在
上的運算,所得的結果的元素依然存在於
,且對所有
的元素都是如此,那麼這個二元運算就是在
上封閉的),以下為加法(和減法)的性質:
- 加法有結合律,即對於任意整數
,
,
有
- 加法有交換律,即對於任意整數
,
有
- 加法有相消律,即對於任意整數
,
,
,若
,則可推出
- 減法,若對整數
,
,c有
,則亦可記做
,但是減法無交換律
- 在整數中有一個元素0,使得對任意整數
有
且
乘法使用符號‧,
乘
,或稱
和
相乘可記為
,但是若
或
至少有一個為未知數
,則乘號‧可省略(但若
和
皆為已知數,且皆以數字(非英文字母)表示,則乘號「‧」不可省略)
整數集合的乘法也是封閉的,以下為它的性質:
- 乘法有結合律,即對於任意整數
,
,
有
- 乘法有交換律,即對於任意整數
,
有
- 乘法有相消律,即對於任意整數
,
,
,若
,則可推出
(a不能為零)
- 在整數中有一元素1,使得對任意整數
有
- 任意整數
和0相乘為0
整數集合是一個有序集合,以下為整數中的序的關係(即一般所說的大小關係)
- 若
,則必有正整數
,使
- 若
,且
,則
- 若
,且
,
為正整數,則必有正整數
,使得
- 若
且
,則
- 對於任意整數
,有
- 對於兩個整數
,
、
和
有且僅有一個成立
- 最小自然數原理:對於任意自然數的非空子集
,存在一元素
,使得任意的
,都有
事實上,對於任意有下界的非空集合
,若
為整數集合Z的一個子集,則在
中必存在一最小的數n,使得任意的
,都有
- 最大自然數原理:對於任意有上界的非空子集
,存在一元素
,使得任意的
,都有
除法使用符號
,若
除以
,或
除
,記做
- 若
可被
整除,則記做
,或
- 若不能整除,即會剩餘某數
,則記做
- 若
不能整除
,但是能找得到一數,使
,則此
,
,
可記做
(
),後者亦可稱
除以
同餘於
- 因數:若
成立,則
是
的因數
- 倍數:若
,則
是
的倍數
- 質數:若一個大於1的正數
的正因數只有1,
,則稱這個數
為質數
雖然比起前面所說的數學歸納法,第二種數學歸納法比較少用,但是第二種數學歸納法仍然為重要的證明方法,茲將之說明如下:
若對一個命題
,在
(或指定的正整數
)時成立,在假設對所有符合
的正整數都成立時,能證明
對
亦成立,則
對所有正整數(或正整數集合
)都成立
第二種數學歸納法可以用最小自然數原理和反證法證明其為真
任意大於1的正整數都能唯一地表示成由指定數量的特定質數的乘積
根據算術基本定理,任意正整數皆可表為唯一的若干個正質數的乘積,且因為這些質數沒有次序上的問題,因此,可將相同的質數寫成該質數的冪方也是沒問題的,意即上面的a可改寫為:
a=
先證明幾個引理:
- 引理1:每個大於一的數都可以表示成質數的乘積,或本身為質數
引理1證明:用第二種數學歸納來證明,設正整數
時,2為質數,故成立,再假設當
時此引理成立,則當
時,若
為質數,則引理成立,若
不為質數時,
為合數,因此
,其中
,因而由假設知
和
可表為質數的乘積,因而
亦可表為質數的乘積,因此引理亦對
成立,因此由數學歸納法得知,此引理對所有的正整數
成立
- 引理2:若
,且
是質數,則p|a或p|b至少有一個成立,另一方面,若
是質數,且若
成立,則
、
、
、......
至少有一成立
引理2證明:
- 由引理2引出的引理3:若
皆為質數,且
則至少有一個
使
引理3證明:
算術基本定理證明:存在性由引理1可得知,現在來證唯一性:設有一數n,它的分解式為
,其中
皆為質數,再設n存在另一個分解式
,設
,且
亦皆為質數,而且
及
,則很明顯地有
,由引理3知,必有一些
和
相等,且可推知這個關係是唯一的,因此現在將和
相等的數設為
,其他的也照做,意即
、
、‧‧‧、
,而剩下來的則記為
,則由此及
可推出
意即此兩個分解式之中所有的質數相等,與原假設矛盾,故n的分解式為唯一的
假若對兩個整數
,有一整數
,使
且
,則稱
為
和
的公因數,若在
和
的公因數所形成的集合中,
是為其中最大的數字,則稱這個
為
和
的最大公因數,或記做
,若
,則稱
和
互質
若有整數
,使得
且
,則稱
為
和
的公倍數,若在
和
所有的正公倍數所形成的集合中,
是其中最小的數字,則稱
為
和
的最小公倍數,或記做
,且若
,則
- 最大公因數:

- 若
則
,且在此
為任意整數,
為任意正整數
- 若
則
,且在此
為任意整數,
為任意正整數
對於兩個數
和
,有以下算法:
我們可以
表示
的公約數則
並且
所以
並且
,
也就是說當
時,
和
的最大公約數和
和
相等。於是我們有:
......
其中(
,
)=(
,
)=......=(
,
)
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