利息計算 是指用數學 的方法來計算由於存款 或者信貸 而形成的具有計算性質的利息 的過程。
基本概念 [ 編輯 ]
符號
意義
K
0
{\displaystyle K_{0}}
本金 ( 初始資本 )
n
{\displaystyle n}
期限
p
{\displaystyle p}
100元錢在利息周期內的利息額
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
p
{\displaystyle p}
100
{\displaystyle 100}
利率 ( 一元錢在一個利息周期內的利息額 )
K
n
{\displaystyle K_{n}}
收益 ( 在期限結束時 )
利息周期一般情況下是指一年，在這種情況下稱為年利息，或簡稱年息，常用 p.a. ( per annum ) 來表示。如果利息周期少於一年，例如半年，季度或者月份，則稱之為低年利息，或低年息。另一個重要概念是有關於利息的具體核算時間，如果利息在每個利息周期結束時核算，稱之為後期利息 ( 有的書中也稱作補期利息 )，在這種情況利息計算以利息周期開始時的初始資本為準，也就是說，後期利息實際上是本金在利息周期里的利息，用公式表示如下：
然而在實踐中還存在着另一種比較少見的情況，即利息在利息周期開始時就開始核算，這時的利息計算以利息周期結束時的收益為準，此時的利息人們稱之為先期利息 ( 有的書中也稱作預期利息 )，也就是說，先期利息實際上是收益在利息周期裏的利息，用公式表示如下：
總結：
標準
區分
按照利息周期長短
年息 ( 利息周期為 1 年 )
低年息 ( 利息周期為 1 年的一部分 )
按照利息核算時間
以本金為準的後期利息
以收益為準的先期利息
後期年利息 [ 編輯 ] 後期年息利息是利息計算的一種標準形式，利息計算周期始終為一年 ( p.a. )， 在利息計算過程中，也是始終以本金 ( 初始資金 ) 為基礎。
下面通過一個例子來解釋單利的含義。一儲戶將 1000 元錢以利率 8% ( p.a. ) 存入銀行 2 年，一年後，該儲戶的資本除了本金 1000 元還包括利息，其中利息為：
i
{\displaystyle i}
K
0
{\displaystyle K_{0}}
K
n
=
K
0
⋅
(
1
+
n
⋅
i
)
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot (1+n\cdot i)}
因此上面例子中儲戶兩年後的收益為：
K
2
=
1000
⋅
(
1
+
2
⋅
0
,
08
)
=
1160
{\displaystyle K_{2}=1000\cdot (1+2\cdot 0{,}08)=1160}
混合單利 [ 編輯 ] 上面的例子中只提到了整個利息期限是整數年的收益計算方法，然而在實踐中經常會出現期限不是整數年的情況，比如儲戶的存款期限為 3 年，7 個月另 12 天，這時的收益的計算方法仍然按照上面的公式，但是要把月和天數換算成年數。在經濟數學領域的日期換算中遵照如下約定：1 年有 360 天，1 個月有 30 天。
例如，一儲戶將 20000 元以年利率 7% 存入銀行，3 年 7 個月另 12 天后，他的收益是：
K
n
=
20000
⋅
[
1
+
(
3
+
7
12
+
12
360
)
⋅
0
,
07
]
=
25063.33
{\displaystyle K_{n}=20000\cdot [1+(3+{\frac {7}{12}}+{\frac {12}{360}})\cdot 0{,}07]=25063.33}
還是上面那個例子，一儲戶將 1000 元錢以利率 8% ( p.a. ) 存入銀行 2 年，第一年的利息為 80 元，收益為 1080 元。假設第一年的利息不支付給儲戶，而是算在第二年利息的本金里，那麼第二年的利息將是本金 1080 元在一年的利息，即 0.08 × 1080 = 86.4 元，這時儲戶兩年內一共獲得的利息是 80 + 86.4 = 166.40 元。
K
n
=
K
0
⋅
(
1
+
i
)
n
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}}
因此上面例子中儲戶兩年後的收益為：
K
2
=
1000
⋅
(
1
+
0
.
08
)
2
=
1166
.
40
{\displaystyle K_{2}=1000\cdot (1+0{.}08)^{2}=1166{.}40}
混合複利 [ 編輯 ] 混合複利類似與混合單利，即整個利息期限不是整數年，這時計算收益的原則如下，整數年期限按照複利計算，對於餘下的非整數年期按單利計算，因此有如下計算公式：
K
n
=
K
N
+
t
=
K
0
⋅
(
1
+
i
)
N
⋅
(
1
+
i
⋅
t
360
)
{\displaystyle K_{n}=K_{N+t}=K_{0}\cdot (1+i)^{N}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t}{360}}\right)}
例如，一筆 20000 元的本金存入銀行 3 年，7 個月又 12 天，利率是複利 7％，最終收益是：
K
=
20000
⋅
(
1
+
0.07
)
3
⋅
(
1
+
0.07
⋅
222
360
)
=
25558.48
{\displaystyle K=20000\cdot (1+0.07)^{3}\cdot \left(1+0.07\cdot {\frac {222}{360}}\right)=25558.48}
日曆年利息 [ 編輯 ] 銀行在計算以上所論及到的年息周期時具體是指從 1 月 1 日到同年的 12 月 31 日這段時間的利息，即正好是一個日曆年，因此年息也可以說成是日曆年息。然而在實踐中，整個利息期限不可能與日曆年完全吻合，這種情況下的利息的計算方法是：在整數日曆年內發生的利息按照複利計算，之前或者之後不足一個日曆年發生的利息按照單利計算，因此有如下公式：
K
=
K
0
⋅
(
1
+
i
⋅
t
1
360
)
⋅
(
1
+
i
)
N
⋅
(
1
+
i
⋅
t
2
360
)
{\displaystyle K=K_{0}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t_{1}}{360}}\right)\cdot (1+i)^{N}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t_{2}}{360}}\right)}
例如，一儲戶將 10000 元在 1990 年 10 月 1 日以年利率 8％ 存入銀行，到 1993 年 9 月 30 日他應獲得的收益將是：
K
=
10000
⋅
(
1
+
0
,
08
⋅
90
360
)
⋅
(
1
+
0
,
08
)
2
⋅
(
1
+
0
,
08
⋅
270
360
)
=
12611.12
{\displaystyle K=10000\cdot \left(1+0{,}08\cdot {\frac {90}{360}}\right)\cdot (1+0{,}08)^{2}\cdot \left(1+0{,}08\cdot {\frac {270}{360}}\right)=12611.12}
這種日曆年息計算方法有利於投資方，因為如果按照普通的複利計算方法，儲戶在 3 年後獲得的收益是：
K
3
=
10000
⋅
(
1
+
0
,
08
)
3
=
12597.12
{\displaystyle K_{3}=10000\cdot (1+0{,}08)^{3}=12597.12}
後期低年利息 [ 編輯 ] 低年息是指利息計算周期少於一年，例如半年，一季度，一個月等。在計算中用小寫字母
h
{\displaystyle h}
i
{\displaystyle i}
n
{\displaystyle n}
j
{\displaystyle j}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
h
{\displaystyle h}
m
=
h
⋅
n
{\displaystyle m=h\cdot n}
利息計算周期
半年
一季度
一個月
一天
每年利息周期數
h
=
2
{\displaystyle h=2}
h
=
4
{\displaystyle h=4}
h
=
12
{\displaystyle h=12}
h
=
360
{\displaystyle h=360}
例如，整個利息期限為 4 年 3 個月另 12 天 ( 即
4.28
3
¯
{\displaystyle 4.28{\bar {3}}}
h
=
2
{\displaystyle h=2}
m
{\displaystyle m}
m
=
2
⋅
4.28
3
¯
=
8.5
6
¯
{\displaystyle m=2\cdot 4.28{\bar {3}}=8.5{\bar {6}}}
即 8.56 個半年 ( 4 年 + 102 天 ) 。
m
=
h
n
{\displaystyle m=hn}
j
{\displaystyle j}
m
{\displaystyle m}
i
{\displaystyle i}
n
{\displaystyle n}
低年息
年息
單利
K
m
=
K
0
⋅
(
1
+
m
⋅
j
)
{\displaystyle K_{m}=K_{0}\cdot (1+m\cdot j)}
K
n
=
K
0
⋅
(
1
+
n
⋅
i
)
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot (1+n\cdot i)}
複利
K
m
=
K
0
⋅
(
1
+
j
)
m
{\displaystyle K_{m}=K_{0}\cdot (1+j)^{m}}
K
n
=
K
0
⋅
(
1
+
i
)
n
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}}
混合複利
K
m
=
K
0
⋅
(
1
+
j
)
M
⋅
(
1
+
j
⋅
t
180
∗
)
{\displaystyle K_{m}=K_{0}\cdot (1+j)^{M}\cdot \left(1+j\cdot {\frac {t}{180^{*}}}\right)}
K
n
=
K
0
⋅
(
1
+
i
)
n
⋅
(
1
+
i
⋅
t
360
)
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t}{360}}\right)}
∗
{\displaystyle *}
例如，一筆款項 2000 元以利息核算周期為季度以及複利利率為 2％ 存入銀行 2 年另 8 個月，最終收益是多少？
j
=
2
%
{\displaystyle j=2\%}
h
=
4
{\displaystyle h=4}
n
=
{\displaystyle n=}
m
=
{\displaystyle m=}
10.
6
¯
{\displaystyle 10.{\bar {6}}}
K
m
=
2000
⋅
(
1
+
0.02
)
10
⋅
(
1
+
0.02
⋅
60
90
)
=
2470.50
{\displaystyle K_{m}=2000\cdot (1+0.02)^{10}\cdot \left(1+0.02\cdot {\frac {60}{90}}\right)=2470.50}
名利率，相對利率，實利率，相符利率 [ 編輯 ] 年息利率
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
K
0
{\displaystyle K_{0}}
n
{\displaystyle n}
i
=
8
%
{\displaystyle i=8\%}
j
=
i
/
4
=
2
%
{\displaystyle j=i/4=2\%}
K
2
=
1000
⋅
(
1
+
0.08
)
2
=
1166.40
{\displaystyle K_{2}=1000\cdot (1+0.08)^{2}=1166.40}
K
8
=
1000
⋅
(
1
+
0.02
)
8
=
1171.66
{\displaystyle K_{8}=1000\cdot (1+0.02)^{8}=1171.66}
在如上的例子中，年利率
i
{\displaystyle i}
名利率 ，相應的低年息利率
j
{\displaystyle j}
相對利率 。在計算中，若想獲得相同的年息收益 1166.40 元，那麼低年息季度利率應該為
j
k
=
1166.40
1000
8
−
1
=
1.9427
%
{\displaystyle j_{k}={\sqrt[{8}]{\frac {1166.40}{1000}}}-1=1.9427\%}
j
k
{\displaystyle j_{k}}
實利率 。同樣，若想獲得相同的低年息收益 1171.66 元，那麼年息利率應該為
i
e
=
1171.66
1000
−
1
=
8.2432
%
{\displaystyle i_{e}={\sqrt {\frac {1171.66}{1000}}}-1=8.2432\%}
i
e
{\displaystyle i_{e}}
相符利率 。
名利率
i
{\displaystyle i}
相對利率
j
=
i
h
{\displaystyle j={\frac {i}{h}}}
實利率
j
k
=
1
+
i
h
−
1
{\displaystyle j_{k}={\sqrt[{h}]{1+i}}-1}
相符利率
i
e
=
(
1
+
j
)
h
−
1
{\displaystyle i_{e}=(1+j)^{h}-1}
先期利息 [ 編輯 ] 與後期利息計算方法不同的是，先期利息在利息周期開始時就開始核算，這時的利息計算以利息周期結束時的收益
(
K
n
)
{\displaystyle (K_{n})}
(
K
n
)
{\displaystyle (K_{n})}
K
0
=
K
1
−
i
x
⋅
K
1
=
10000
⋅
(
1
−
0.12
)
=
8800
{\displaystyle K_{0}=K_{1}-i_{x}\cdot K_{1}=10000\cdot (1-0.12)=8800}
先期單利和先期複利 [ 編輯 ] 先期單利和先期複利的含義因為可分別用如下公式表示，
K
0
+
n
⋅
i
x
⋅
K
n
=
K
n
{\displaystyle K_{0}+n\cdot i_{x}\cdot K_{n}=K_{n}}
K
n
=
K
n
−
1
+
i
x
⋅
K
n
{\displaystyle K_{n}=K_{n-1}+i_{x}\cdot K_{n}}
(
K
n
)
{\displaystyle (K_{n})}
利息形式
收益公式
先期單利
K
n
=
K
0
1
−
n
⋅
i
x
{\displaystyle K_{n}={\frac {K_{0}}{1-n\cdot i_{x}}}}
先期複利
K
n
=
K
0
(
1
−
i
x
)
n
{\displaystyle K_{n}={\frac {K_{0}}{(1-i_{x})^{n}}}}
(
i
x
{\displaystyle i_{x}}
替換利率和先期利率 [ 編輯 ] 替換利率致力於研究後期利率和先期利率的關係，其定義是若想獲得相同的先期收益
K
n
{\displaystyle K_{n}}
i
t
{\displaystyle i_{t}}
K
0
⋅
(
1
+
i
t
)
n
=
K
0
(
1
−
i
x
)
n
⟶
i
t
=
i
x
(
1
−
i
x
)
{\displaystyle K_{0}\cdot (1+i_{t})^{n}={\frac {K_{0}}{(1-i_{x})^{n}}}\longrightarrow i_{t}={\frac {i_{x}}{(1-i_{x})}}}
利率 複利
![{\displaystyle K_{n}=20000\cdot [1+(3+{\frac {7}{12}}+{\frac {12}{360}})\cdot 0{,}07]=25063.33}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28bf9579b4ff3262cc275df9a495fbd58bab3af)
![{\displaystyle j_{k}={\sqrt[{8}]{\frac {1166.40}{1000}}}-1=1.9427\%}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f89d7d3b497903288b7a09e92a153485f9a6a33)
![{\displaystyle j_{k}={\sqrt[{h}]{1+i}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa21a35080691af9fb9454f4099e71ed2adea76)
