利息计算 是指用数学 的方法来计算由于存款 或者信贷 而形成的具有计算性质的利息 的过程。
基本概念 [ 编辑 ]
符号
意义
K
0
{\displaystyle K_{0}}
本金 ( 初始资本 )
n
{\displaystyle n}
期限
p
{\displaystyle p}
100元钱在利息周期内的利息额
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
p
{\displaystyle p}
100
{\displaystyle 100}
利率 ( 一元钱在一个利息周期内的利息额 )
K
n
{\displaystyle K_{n}}
收益 ( 在期限结束时 )
利息周期一般情况下是指一年，在这种情况下称为年利息，或简称年息，常用 p.a. ( per annum ) 来表示。如果利息周期少于一年，例如半年，季度或者月份，则称之为低年利息，或低年息。另一个重要概念是有关于利息的具体核算时间，如果利息在每个利息周期结束时核算，称之为后期利息 ( 有的书中也称作补期利息 )，在这种情况利息计算以利息周期开始时的初始资本为准，也就是说，后期利息实际上是本金在利息周期里的利息，用公式表示如下：
然而在实践中还存在着另一种比较少见的情况，即利息在利息周期开始时就开始核算，这时的利息计算以利息周期结束时的收益为准，此时的利息人们称之为先期利息 ( 有的书中也称作预期利息 )，也就是说，先期利息实际上是收益在利息周期里的利息，用公式表示如下：
总结：
标准
区分
按照利息周期长短
年息 ( 利息周期为 1 年 )
低年息 ( 利息周期为 1 年的一部分 )
按照利息核算时间
以本金为准的后期利息
以收益为准的先期利息
后期年利息 [ 编辑 ] 后期年息利息是利息计算的一种标准形式，利息计算周期始终为一年 ( p.a. )， 在利息计算过程中，也是始终以本金 ( 初始资金 ) 为基础。
下面通过一个例子来解释单利的含义。一储户将 1000 元钱以利率 8% ( p.a. ) 存入银行 2 年，一年后，该储户的资本除了本金 1000 元还包括利息，其中利息为：
i
{\displaystyle i}
K
0
{\displaystyle K_{0}}
K
n
=
K
0
⋅
(
1
+
n
⋅
i
)
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot (1+n\cdot i)}
因此上面例子中储户两年后的收益为：
K
2
=
1000
⋅
(
1
+
2
⋅
0
,
08
)
=
1160
{\displaystyle K_{2}=1000\cdot (1+2\cdot 0{,}08)=1160}
混合单利 [ 编辑 ] 上面的例子中只提到了整个利息期限是整数年的收益计算方法，然而在实践中经常会出现期限不是整数年的情况，比如储户的存款期限为 3 年，7 个月另 12 天，这时的收益的计算方法仍然按照上面的公式，但是要把月和天数换算成年数。在经济数学领域的日期换算中遵照如下约定：1 年有 360 天，1 个月有 30 天。
例如，一储户将 20000 元以年利率 7% 存入银行，3 年 7 个月另 12 天后，他的收益是：
K
n
=
20000
⋅
[
1
+
(
3
+
7
12
+
12
360
)
⋅
0
,
07
]
=
25063.33
{\displaystyle K_{n}=20000\cdot [1+(3+{\frac {7}{12}}+{\frac {12}{360}})\cdot 0{,}07]=25063.33}
还是上面那个例子，一储户将 1000 元钱以利率 8% ( p.a. ) 存入银行 2 年，第一年的利息为 80 元，收益为 1080 元。假设第一年的利息不支付给储户，而是算在第二年利息的本金里，那么第二年的利息将是本金 1080 元在一年的利息，即 0.08 × 1080 = 86.4 元，这时储户两年内一共获得的利息是 80 + 86.4 = 166.40 元。
K
n
=
K
0
⋅
(
1
+
i
)
n
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}}
因此上面例子中储户两年后的收益为：
K
2
=
1000
⋅
(
1
+
0
.
08
)
2
=
1166
.
40
{\displaystyle K_{2}=1000\cdot (1+0{.}08)^{2}=1166{.}40}
混合复利 [ 编辑 ] 混合复利类似与混合单利，即整个利息期限不是整数年，这时计算收益的原则如下，整数年期限按照复利计算，对于余下的非整数年期按单利计算，因此有如下计算公式：
K
n
=
K
N
+
t
=
K
0
⋅
(
1
+
i
)
N
⋅
(
1
+
i
⋅
t
360
)
{\displaystyle K_{n}=K_{N+t}=K_{0}\cdot (1+i)^{N}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t}{360}}\right)}
例如，一笔 20000 元的本金存入银行 3 年，7 个月又 12 天，利率是复利 7％，最终收益是：
K
=
20000
⋅
(
1
+
0.07
)
3
⋅
(
1
+
0.07
⋅
222
360
)
=
25558.48
{\displaystyle K=20000\cdot (1+0.07)^{3}\cdot \left(1+0.07\cdot {\frac {222}{360}}\right)=25558.48}
日历年利息 [ 编辑 ] 银行在计算以上所论及到的年息周期时具体是指从 1 月 1 日到同年的 12 月 31 日这段时间的利息，即正好是一个日历年，因此年息也可以说成是日历年息。然而在实践中，整个利息期限不可能与日历年完全吻合，这种情况下的利息的计算方法是：在整数日历年内发生的利息按照复利计算，之前或者之后不足一个日历年发生的利息按照单利计算，因此有如下公式：
K
=
K
0
⋅
(
1
+
i
⋅
t
1
360
)
⋅
(
1
+
i
)
N
⋅
(
1
+
i
⋅
t
2
360
)
{\displaystyle K=K_{0}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t_{1}}{360}}\right)\cdot (1+i)^{N}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t_{2}}{360}}\right)}
例如，一储户将 10000 元在 1990 年 10 月 1 日以年利率 8％ 存入银行，到 1993 年 9 月 30 日他应获得的收益将是：
K
=
10000
⋅
(
1
+
0
,
08
⋅
90
360
)
⋅
(
1
+
0
,
08
)
2
⋅
(
1
+
0
,
08
⋅
270
360
)
=
12611.12
{\displaystyle K=10000\cdot \left(1+0{,}08\cdot {\frac {90}{360}}\right)\cdot (1+0{,}08)^{2}\cdot \left(1+0{,}08\cdot {\frac {270}{360}}\right)=12611.12}
这种日历年息计算方法有利于投资方，因为如果按照普通的复利计算方法，储户在 3 年后获得的收益是：
K
3
=
10000
⋅
(
1
+
0
,
08
)
3
=
12597.12
{\displaystyle K_{3}=10000\cdot (1+0{,}08)^{3}=12597.12}
后期低年利息 [ 编辑 ] 低年息是指利息计算周期少于一年，例如半年，一季度，一个月等。在计算中用小写字母
h
{\displaystyle h}
i
{\displaystyle i}
n
{\displaystyle n}
j
{\displaystyle j}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
h
{\displaystyle h}
m
=
h
⋅
n
{\displaystyle m=h\cdot n}
利息计算周期
半年
一季度
一个月
一天
每年利息周期数
h
=
2
{\displaystyle h=2}
h
=
4
{\displaystyle h=4}
h
=
12
{\displaystyle h=12}
h
=
360
{\displaystyle h=360}
例如，整个利息期限为 4 年 3 个月另 12 天 ( 即
4.28
3
¯
{\displaystyle 4.28{\bar {3}}}
h
=
2
{\displaystyle h=2}
m
{\displaystyle m}
m
=
2
⋅
4.28
3
¯
=
8.5
6
¯
{\displaystyle m=2\cdot 4.28{\bar {3}}=8.5{\bar {6}}}
即 8.56 个半年 ( 4 年 + 102 天 ) 。
m
=
h
n
{\displaystyle m=hn}
j
{\displaystyle j}
m
{\displaystyle m}
i
{\displaystyle i}
n
{\displaystyle n}
低年息
年息
单利
K
m
=
K
0
⋅
(
1
+
m
⋅
j
)
{\displaystyle K_{m}=K_{0}\cdot (1+m\cdot j)}
K
n
=
K
0
⋅
(
1
+
n
⋅
i
)
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot (1+n\cdot i)}
复利
K
m
=
K
0
⋅
(
1
+
j
)
m
{\displaystyle K_{m}=K_{0}\cdot (1+j)^{m}}
K
n
=
K
0
⋅
(
1
+
i
)
n
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}}
混合复利
K
m
=
K
0
⋅
(
1
+
j
)
M
⋅
(
1
+
j
⋅
t
180
∗
)
{\displaystyle K_{m}=K_{0}\cdot (1+j)^{M}\cdot \left(1+j\cdot {\frac {t}{180^{*}}}\right)}
K
n
=
K
0
⋅
(
1
+
i
)
n
⋅
(
1
+
i
⋅
t
360
)
{\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t}{360}}\right)}
∗
{\displaystyle *}
例如，一笔款项 2000 元以利息核算周期为季度以及复利利率为 2％ 存入银行 2 年另 8 个月，最终收益是多少？
j
=
2
%
{\displaystyle j=2\%}
h
=
4
{\displaystyle h=4}
n
=
{\displaystyle n=}
m
=
{\displaystyle m=}
10.
6
¯
{\displaystyle 10.{\bar {6}}}
K
m
=
2000
⋅
(
1
+
0.02
)
10
⋅
(
1
+
0.02
⋅
60
90
)
=
2470.50
{\displaystyle K_{m}=2000\cdot (1+0.02)^{10}\cdot \left(1+0.02\cdot {\frac {60}{90}}\right)=2470.50}
名利率，相对利率，实利率，相符利率 [ 编辑 ] 年息利率
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
K
0
{\displaystyle K_{0}}
n
{\displaystyle n}
i
=
8
%
{\displaystyle i=8\%}
j
=
i
/
4
=
2
%
{\displaystyle j=i/4=2\%}
K
2
=
1000
⋅
(
1
+
0.08
)
2
=
1166.40
{\displaystyle K_{2}=1000\cdot (1+0.08)^{2}=1166.40}
K
8
=
1000
⋅
(
1
+
0.02
)
8
=
1171.66
{\displaystyle K_{8}=1000\cdot (1+0.02)^{8}=1171.66}
在如上的例子中，年利率
i
{\displaystyle i}
名利率 ，相应的低年息利率
j
{\displaystyle j}
相对利率 。在计算中，若想获得相同的年息收益 1166.40 元，那么低年息季度利率应该为
j
k
=
1166.40
1000
8
−
1
=
1.9427
%
{\displaystyle j_{k}={\sqrt[{8}]{\frac {1166.40}{1000}}}-1=1.9427\%}
j
k
{\displaystyle j_{k}}
实利率 。同样，若想获得相同的低年息收益 1171.66 元，那么年息利率应该为
i
e
=
1171.66
1000
−
1
=
8.2432
%
{\displaystyle i_{e}={\sqrt {\frac {1171.66}{1000}}}-1=8.2432\%}
i
e
{\displaystyle i_{e}}
相符利率 。
名利率
i
{\displaystyle i}
相对利率
j
=
i
h
{\displaystyle j={\frac {i}{h}}}
实利率
j
k
=
1
+
i
h
−
1
{\displaystyle j_{k}={\sqrt[{h}]{1+i}}-1}
相符利率
i
e
=
(
1
+
j
)
h
−
1
{\displaystyle i_{e}=(1+j)^{h}-1}
先期利息 [ 编辑 ] 与后期利息计算方法不同的是，先期利息在利息周期开始时就开始核算，这时的利息计算以利息周期结束时的收益
(
K
n
)
{\displaystyle (K_{n})}
(
K
n
)
{\displaystyle (K_{n})}
K
0
=
K
1
−
i
x
⋅
K
1
=
10000
⋅
(
1
−
0.12
)
=
8800
{\displaystyle K_{0}=K_{1}-i_{x}\cdot K_{1}=10000\cdot (1-0.12)=8800}
先期单利和先期复利 [ 编辑 ] 先期单利和先期复利的含义因为可分别用如下公式表示，
K
0
+
n
⋅
i
x
⋅
K
n
=
K
n
{\displaystyle K_{0}+n\cdot i_{x}\cdot K_{n}=K_{n}}
K
n
=
K
n
−
1
+
i
x
⋅
K
n
{\displaystyle K_{n}=K_{n-1}+i_{x}\cdot K_{n}}
(
K
n
)
{\displaystyle (K_{n})}
利息形式
收益公式
先期单利
K
n
=
K
0
1
−
n
⋅
i
x
{\displaystyle K_{n}={\frac {K_{0}}{1-n\cdot i_{x}}}}
先期复利
K
n
=
K
0
(
1
−
i
x
)
n
{\displaystyle K_{n}={\frac {K_{0}}{(1-i_{x})^{n}}}}
(
i
x
{\displaystyle i_{x}}
替换利率和先期利率 [ 编辑 ] 替换利率致力于研究后期利率和先期利率的关系，其定义是若想获得相同的先期收益
K
n
{\displaystyle K_{n}}
i
t
{\displaystyle i_{t}}
K
0
⋅
(
1
+
i
t
)
n
=
K
0
(
1
−
i
x
)
n
⟶
i
t
=
i
x
(
1
−
i
x
)
{\displaystyle K_{0}\cdot (1+i_{t})^{n}={\frac {K_{0}}{(1-i_{x})^{n}}}\longrightarrow i_{t}={\frac {i_{x}}{(1-i_{x})}}}
利率 复利
![{\displaystyle K_{n}=20000\cdot [1+(3+{\frac {7}{12}}+{\frac {12}{360}})\cdot 0{,}07]=25063.33}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28bf9579b4ff3262cc275df9a495fbd58bab3af)
![{\displaystyle j_{k}={\sqrt[{8}]{\frac {1166.40}{1000}}}-1=1.9427\%}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f89d7d3b497903288b7a09e92a153485f9a6a33)
![{\displaystyle j_{k}={\sqrt[{h}]{1+i}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa21a35080691af9fb9454f4099e71ed2adea76)
