利息計算

利息計算是指用數學的方法來計算由於存款或者信貸而形成的具有計算性質的利息的過程。

基本概念

符號	意義
$K_{0}$	本金 ( 初始資本 )
$n$	期限
$p$	100元錢在利息周期內的利息額
$i$ ( $i$= $p$ / $100$ )	利率 ( 一元錢在一個利息周期內的利息額 )
$K_{n}$	收益 ( 在期限結束時 )

利息周期一般情況下是指一年，在這種情況下稱為年利息，或簡稱年息，常用 p.a. ( per annum ) 來表示。如果利息周期少於一年，例如半年，季度或者月份，則稱之為低年利息，或低年息。另一個重要概念是有關於利息的具體核算時間，如果利息在每個利息周期結束時核算，稱之為後期利息 ( 有的書中也稱作補期利息 )，在這種情況利息計算以利息周期開始時的初始資本為準，也就是說，後期利息實際上是本金在利息周期里的利息，用公式表示如下：

 收益 = 本金 + 本金的利息

然而在實踐中還存在著另一種比較少見的情況，即利息在利息周期開始時就開始核算，這時的利息計算以利息周期結束時的收益為準，此時的利息人們稱之為先期利息 ( 有的書中也稱作預期利息 )，也就是說，先期利息實際上是收益在利息周期裡的利息，用公式表示如下：

 本金 = 收益 -  收益的利息

總結：

標準	區分
按照利息周期長短	年息 ( 利息周期為 1 年 )
	低年息 ( 利息周期為 1 年的一部分 )
按照利息核算時間	以本金為準的後期利息
	以收益為準的先期利息

後期年利息

後期年息利息是利息計算的一種標準形式，利息計算周期始終為一年 ( p.a. )， 在利息計算過程中，也是始終以本金 ( 初始資金 ) 為基礎。

單利

下面通過一個例子來解釋單利的含義。一儲戶將 1000 元錢以利率 8% ( p.a. ) 存入銀行 2 年，一年後，該儲戶的資本除了本金 1000 元還包括利息，其中利息為：
$i$ × $K_{0}$ = 0.08 × 1000 = 80 元
那麼，該儲戶第二年獲得的利息是多少呢？假設銀行將第一年的利息支付給了儲戶，那麼第二年的利息仍然是本金 1000 元在一年的利息，即 80 元，因此儲戶在兩年內得到的利息一共為 160 元。
以上這種計算利息的方法被稱之為單利，在單利計算中，每個利息周期產生的利息被支付出去，也就是說在整個期限內的各個利息周期的利息保持不變。後期年息單利的收益計算方法可用如下公式表示：

$K_{n}=K_{0}\cdot (1+n\cdot i)$

因此上面例子中儲戶兩年後的收益為：

$K_{2}=1000\cdot (1+2\cdot 0{,}08)=1160$

混合單利

上面的例子中只提到了整個利息期限是整數年的收益計算方法，然而在實踐中經常會出現期限不是整數年的情況，比如儲戶的存款期限為 3 年，7 個月另 12 天，這時的收益的計算方法仍然按照上面的公式，但是要把月和天數換算成年數。在經濟數學領域的日期換算中遵照如下約定：1 年有 360 天，1 個月有 30 天。

例如，一儲戶將 20000 元以年利率 7% 存入銀行，3 年 7 個月另 12 天后，他的收益是：

$K_{n}=20000\cdot [1+(3+{\frac {7}{12}}+{\frac {12}{360}})\cdot 0{,}07]=25063.33$

複利

還是上面那個例子，一儲戶將 1000 元錢以利率 8% ( p.a. ) 存入銀行 2 年，第一年的利息為 80 元，收益為 1080 元。假設第一年的利息不支付給儲戶，而是算在第二年利息的本金里，那麼第二年的利息將是本金 1080 元在一年的利息，即 0.08 × 1080 = 86.4 元，這時儲戶兩年內一共獲得的利息是 80 + 86.4 = 166.40 元。
以上這種計算利息的方法被稱之為複利，在複利計算中，每個利息周期產生的利息不被支付出去，而是算在接下去發生的利息周期的本金里。後期年息複利的收益計算方法可用如下公式表示：

$K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}$

因此上面例子中儲戶兩年後的收益為：

$K_{2}=1000\cdot (1+0{.}08)^{2}=1166{.}40$

混合複利

混合複利類似與混合單利，即整個利息期限不是整數年，這時計算收益的原則如下，整數年期限按照複利計算，對於餘下的非整數年期按單利計算，因此有如下計算公式：

$K_{n}=K_{N+t}=K_{0}\cdot (1+i)^{N}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t}{360}}\right)$

例如，一筆 20000 元的本金存入銀行 3 年，7 個月又 12 天，利率是複利 7％，最終收益是：

$K=20000\cdot (1+0.07)^{3}\cdot \left(1+0.07\cdot {\frac {222}{360}}\right)=25558.48$

日曆年利息

銀行在計算以上所論及到的年息周期時具體是指從 1 月 1 日到同年的 12 月 31 日這段時間的利息，即正好是一個日曆年，因此年息也可以說成是日曆年息。然而在實踐中，整個利息期限不可能與日曆年完全吻合，這種情況下的利息的計算方法是：在整數日曆年內發生的利息按照複利計算，之前或者之後不足一個日曆年發生的利息按照單利計算，因此有如下公式：

$K=K_{0}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t_{1}}{360}}\right)\cdot (1+i)^{N}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t_{2}}{360}}\right)$

例如，一儲戶將 10000 元在 1990 年 10 月 1 日以年利率 8％ 存入銀行，到 1993 年 9 月 30 日他應獲得的收益將是：

$K=10000\cdot \left(1+0{,}08\cdot {\frac {90}{360}}\right)\cdot (1+0{,}08)^{2}\cdot \left(1+0{,}08\cdot {\frac {270}{360}}\right)=12611.12$

上面的示意圖表明，雖然本金存儲期限為 3 年，但是只有 2 個日曆年，或者說只有 2 個整利息周期，之前和之後的時間分別為 90 和 270 天。

這種日曆年息計算方法有利於投資方，因為如果按照普通的複利計算方法，儲戶在 3 年後獲得的收益是：

$K_{3}=10000\cdot (1+0{,}08)^{3}=12597.12$

後期低年利息

低年息是指利息計算周期少於一年，例如半年，一季度，一個月等。在計算中用小寫字母 $h$ 來表示每年的利息周期數，為了同後期年利息利率 $i$ 和期限 $n$ 區分，用小寫字母 $j$ 來表示每個利息周期內的低年息利率，以及用 $m$ 表示以低年周期為單位的利息期限，這樣，$n$，$m$，$h$ 之間有如下關係，

$m=h\cdot n$

利息計算周期	半年	一季度	一個月	一天
每年利息周期數	$h=2$	$h=4$	$h=12$	$h=360$

例如，整個利息期限為 4 年 3 個月另 12 天 ( 即 $4.28{\bar {3}}$ 年 ) 在利息計算周期為半年的情況下 ( 即 $h=2$ ) 的以低年周期為單位的利息期限 $m$ 應該是

$m=2\cdot 4.28{\bar {3}}=8.5{\bar {6}}$

即 8.56 個半年 ( 4 年 + 102 天 ) 。
根據公式 $m=hn$ 可以很容易的從後期年息公式導出低年息公式，過程是只須分別用 $j$ 和 $m$ 替換 $i$ 和 $n$，下面是後期年息和低年息的比較一覽：

	低年息	年息
單利	$K_{m}=K_{0}\cdot (1+m\cdot j)$	$K_{n}=K_{0}\cdot (1+n\cdot i)$
複利	$K_{m}=K_{0}\cdot (1+j)^{m}$	$K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}$
混合複利	$K_{m}=K_{0}\cdot (1+j)^{M}\cdot \left(1+j\cdot {\frac {t}{180^{*}}}\right)$	$K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t}{360}}\right)$

$*$這裡所列的是利息周期為半年的情況，相應的如果利息周期為一季度或者一個月，則是 90 以及 30 。

例如，一筆款項 2000 元以利息核算周期為季度以及複利利率為 2％ 存入銀行 2 年另 8 個月，最終收益是多少？
本例中，$j=2\%$，$h=4$，$n=$ 2 年 + 8 個月，$m=$ 10 個季度 + 60 天 = $10.{\bar {6}}$ 個季度，
$K_{m}=2000\cdot (1+0.02)^{10}\cdot \left(1+0.02\cdot {\frac {60}{90}}\right)=2470.50$

名利率，相對利率，實利率，相符利率

年息利率 $i$ 與 低年息利率 $j$ 在相同的本金 $K_{0}$ 和相同整個利息期限 $n$ 情況下回導致完全不同的收益結果，原則上是低年息利率會導致比年息更高的複利收益。例如，1000 元以年利率 $i=8\%$存入銀行 2 年 ( 相應的低年季度利率 $j=i/4=2\%$ )，按年息算最後收益是$K_{2}=1000\cdot (1+0.08)^{2}=1166.40$，如果按照低年息季度利率計算收益則是$K_{8}=1000\cdot (1+0.02)^{8}=1171.66$

在如上的例子中，年利率 $i$ 被稱之為名利率，相應的低年息利率 $j$ 稱之為相對利率。在計算中，若想獲得相同的年息收益 1166.40 元，那麼低年息季度利率應該為 $j_{k}={\sqrt[{8}]{\frac {1166.40}{1000}}}-1=1.9427\%$，此時的低年季度利率 $j_{k}$ 叫做實利率。同樣，若想獲得相同的低年息收益 1171.66 元，那麼年息利率應該為 $i_{e}={\sqrt {\frac {1171.66}{1000}}}-1=8.2432\%$，此時的年息利率 $i_{e}$ 被稱之為相符利率。

名利率	$i$
相對利率	$j={\frac {i}{h}}$
實利率	$j_{k}={\sqrt[{h}]{1+i}}-1$
相符利率	$i_{e}=(1+j)^{h}-1$

先期利息

與後期利息計算方法不同的是，先期利息在利息周期開始時就開始核算，這時的利息計算以利息周期結束時的收益 $(K_{n})$ 為準，也就是說，先期利息實際上是收益 $(K_{n})$ 在利息周期里的利息。例如，您要在貸款方借一筆款項並承諾一年以後連本帶息以 10000 元償還，貸款方向您索取 12％ 的先期利率，那麼您獲得的貸款金額為$K_{0}=K_{1}-i_{x}\cdot K_{1}=10000\cdot (1-0.12)=8800$元。

先期單利和先期複利

先期單利和先期複利的含義因為可分別用如下公式表示，$K_{0}+n\cdot i_{x}\cdot K_{n}=K_{n}$ 以及 $K_{n}=K_{n-1}+i_{x}\cdot K_{n}$,所以可以導出收益 $(K_{n})$ 的公式：

利息形式	收益公式
先期單利	$K_{n}={\frac {K_{0}}{1-n\cdot i_{x}}}$
先期複利	$K_{n}={\frac {K_{0}}{(1-i_{x})^{n}}}$

( $i_{x}$ 表示先期利率 )

替換利率和先期利率

替換利率致力於研究後期利率和先期利率的關係，其定義是若想獲得相同的先期收益 $K_{n}$ 而必須的後期利率被稱之為替換利率 $i_{t}$ ，即

$K_{0}\cdot (1+i_{t})^{n}={\frac {K_{0}}{(1-i_{x})^{n}}}\longrightarrow i_{t}={\frac {i_{x}}{(1-i_{x})}}$

參見

利率 複利