微積分學/極限/解答

基礎題

1. $\lim _{x\to 2}(4x^{2}-3x+1)$
   解答：$4(4)-2(3)+1=16-6+1=\mathbf {11}$
2. $\lim _{x\to 5}x^{2}$
   解答：$5^{2}=\mathbf {25}$

單側極限

1. $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {x^{3}+x^{2}}{x^{3}+2x^{2}}}$
   解答：分解因式：${\frac {x^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {x+1}{x+2}}$，可知$x=0$為一可去間斷點，故極限為$\mathbf {\frac {1}{2}}$
2. $\lim _{x\to 7^{-}}(|x^{2}+x|-x)$
   解答：$|7^{2}+7|-7=\mathbf {49}$
3. $\lim _{x\to -1^{+}}{\sqrt {1-x^{2}}}$
   解答：${\sqrt {1-x^{2}}}$在$x^{2}<1$時有意義，故極限為${\sqrt {1-1^{2}}}=\mathbf {0}$
4. $\lim _{x\to -1^{-}}{\sqrt {1-x^{2}}}$
   解答：${\sqrt {1-x^{2}}}$在$x^{2}>1$時無意義，故極限不存在

雙側極限

1. $\lim _{x\to -1}{\frac {1}{x-1}}$
   解答：$\mathbf {-{\frac {1}{2}}}$
2. $\lim _{x\to 4}{\frac {1}{x-4}}$
   解答：$\lim _{x\to 4^{-}}{\frac {1}{x-4}}=-\infty$
   $\lim _{x\to 4^{+}}{\frac {1}{x-4}}=+\infty$
   極限不存在
3. $\lim _{x\to 2}{\frac {1}{x-2}}$
   解答：$\lim _{x\to 2^{-}}{\frac {1}{x-2}}=-\infty$
   $\lim _{x\to 2^{+}}{\frac {1}{x-2}}=+\infty$
   極限不存在
4. $\lim _{x\to -3}{\frac {x^{2}-9}{x+3}}$
   解答：$\lim _{x\to -3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x+3}}=\lim _{x\to -3}x-3=-3-3=\mathbf {-6}$
5. $\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}$
   解答：$\lim _{x\to 3}{\frac {(x-3)(x+3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=3+3=\mathbf {6}$
6. $\lim _{x\to -1}{\frac {x^{2}+2x+1}{x+1}}$
   解答：$\lim _{x\to -1}{\frac {(x+1)(x+1)}{x+1}}=\lim _{x\to -1}x+1=-1+1=\mathbf {0}$
7. $\lim _{x\to -1}{\frac {x^{3}+1}{x+1}}$
   解答：$\lim _{x\to -1}{\frac {(x^{2}-x+1)(x+1)}{x+1}}=\lim _{x\to -1}x^{2}-x+1=(-1)^{2}-(-1)+1=1+1+1=\mathbf {3}$
8. $\lim _{x\to 4}{\frac {x^{2}+5x-36}{x^{2}-16}}$
   解答：$\lim _{x\to 4}{\frac {(x-4)(x+9)}{(x-4)(x+4)}}=\lim _{x\to 4}{\frac {x+9}{x+4}}={\frac {4+9}{4+4}}=\mathbf {\frac {13}{8}}$
9. $\lim _{x\to 25}{\frac {x-25}{{\sqrt {x}}-5}}$
   解答：$\lim _{x\to 25}{\frac {({\sqrt {x}}-5)({\sqrt {x}}+5)}{{\sqrt {x}}-5}}=\lim _{x\to 25}({\sqrt {x}}+5)={\sqrt {25}}+5=5+5=\mathbf {10}$
10. $\lim _{x\to 0}{\frac {\left|x\right|}{x}}$
    解答：$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {\left|x\right|}{x}}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {-x}{x}}=\lim _{x\to 0^{-}}-1=-1$
    $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\left|x\right|}{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {x}{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}1=1$
    極限不存在
11. $\lim _{x\to 2}{\frac {1}{(x-2)^{2}}}$
    解答：當$x$趨近於$2$時，分母趨近於$0$，故極限為$\mathbf {+\infty }$
12. $\lim _{x\to 3}{\frac {\sqrt {x^{2}+16}}{x-3}}$
    解答：當$x$趨近於$3$時，分子趨近於$5$，分母趨近於$0$，但從左側趨近時極限為$-\infty$，從右側趨近時極限為$+\infty$，故極限不存在
13. $\lim _{x\to -2}{\frac {3x^{2}-8x-3}{2x^{2}-18}}$
    解答：${\frac {3(-2)^{2}-8(-2)-3}{2(-2)^{2}-18}}={\frac {3(4)+16-3}{2(4)-18}}={\frac {12+16-3}{8-18}}={\frac {25}{-10}}=\mathbf {-{\frac {5}{2}}}$
14. $\lim _{x\to 2}{\frac {x^{2}+2x+1}{x^{2}-2x+1}}$
    解答：${\frac {2^{2}+2(2)+1}{2^{2}-2(2)+1}}={\frac {4+4+1}{4-4+1}}={\frac {9}{1}}=\mathbf {9}$
15. $\lim _{x\to 3}{\frac {x+3}{x^{2}-9}}$
    解答：$\lim _{x\to 3}{\frac {x+3}{(x+3)(x-3)}}=\lim _{x\to 3}{\frac {1}{x-3}}$
    $\lim _{x\to 3^{-}}{\frac {1}{x-3}}=-\infty$
    $\lim _{x\to 3^{+}}{\frac {1}{x-3}}=+\infty$
    極限不存在
16. $\lim _{x\to -1}{\frac {x+1}{x^{2}+x}}$
    解答：$\lim _{x\to -1}{\frac {x+1}{x(x+1)}}=\lim _{x\to -1}{\frac {1}{x}}={\frac {1}{-1}}=\mathbf {-1}$
17. $\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+1}}$
    解答：${\frac {1}{1^{2}+1}}={\frac {1}{1+1}}=\mathbf {\frac {1}{2}}$
18. $\lim _{x\to 1}x^{3}+5x-{\frac {1}{2-x}}$
    解答：$1^{3}+5(1)-{\frac {1}{2-1}}=1+5-{\frac {1}{1}}=6-1=\mathbf {5}$
19. $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x^{2}+2x-3}}$
    解答：$\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {x+1}{x+3}}={\frac {1+1}{1+3}}={\frac {2}{4}}=\mathbf {\frac {1}{2}}$
20. $\lim _{x\to 1}{\frac {5x}{x^{2}+2x-3}}$
    解答：當$x$趨近於$1$時，分子趨近於$5$，分母趨近於$0$，但從左側趨近時極限為$-\infty$，從右側趨近時極限為$+\infty$，故極限不存在

無窮極限

1. $\lim _{x\to \infty }{\frac {-x+\pi }{x^{2}+3x+2}}$
   解答：分母比分子高階，故極限為$\mathbf {0}$
2. $\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}+2x+1}{3x^{2}+1}}$
   解答：分子與分母同階，故極限為最高次項系數之比，即$\mathbf {\frac {1}{3}}$
3. $\lim _{x\to -\infty }{\frac {3x^{2}+x}{2x^{2}-15}}$
   解答：分子與分母同階，故極限為最高次項系數之比，即$\mathbf {\frac {3}{2}}$
4. $\lim _{x\to -\infty }3x^{2}-2x+1$
   解答：極限為$\mathbf {+\infty }$
5. $\lim _{x\to \infty }{\frac {2x^{2}-32}{x^{3}-64}}$
   解答：分母比分子高階，故極限為$\mathbf {0}$
6. $\lim _{x\to \infty }6$
   解答：極限為$\mathbf {6}$
7. $\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+4x}{x^{4}+2}}$
   解答：分母比分子高階，故極限為$\mathbf {0}$
8. $\lim _{x\to -\infty }{\frac {2x+3x^{2}+1}{2x^{2}+3}}$
   解答：分子與分母同階，故極限為最高次項系數之比，即$\mathbf {\frac {3}{2}}$
9. $\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}-3x^{2}+1}{3x^{2}+x+5}}$
   解答：分子比分母高階，故極限為$\mathbf {-\infty }$
10. $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}+2}{x^{3}-2}}$
    解答：分母比分子高階，故極限為$\mathbf {0}$

分段函數極限

1. $f(x)={\begin{cases}(x-2)^{2}&{\mbox{, }}x<2\\x-3&{\mbox{, }}x\geq 2.\end{cases}}$
   1. $\lim _{x\to 2^{-}}f(x)$
      解答：$(2-2)^{2}=\mathbf {0}$
   2. $\lim _{x\to 2^{+}}f(x)$
      解答：$2-3=\mathbf {-1}$
   3. $\lim _{x\to 2}f(x)$
      解答：左右兩側極限不相等，故極限不存在
2. $g(x)={\begin{cases}-2x+1&{\mbox{, }}x\leq 0\\x+1&{\mbox{, }}0<x<4\\x^{2}+2&{\mbox{, }}x\geq 4.\end{cases}}$
   1. $\lim _{x\to 4^{+}}g(x)$
      解答：$4^{2}+2=16+2=\mathbf {18}$
   2. $\lim _{x\to 4^{-}}g(x)$
      解答：$4+1=\mathbf {5}$
   3. $\lim _{x\to 0^{+}}g(x)$
      解答：$0+1=\mathbf {1}$
   4. $\lim _{x\to 0^{-}}g(x)$
      解答：$-2(0)+1=\mathbf {1}$
   5. $\lim _{x\to 0}g(x)$
      解答：左右兩側極限相等，故極限為$\mathbf {1}$
   6. $\lim _{x\to 1}g(x)$
      解答：$1+1=\mathbf {2}$
3. $h(x)={\begin{cases}2x-3&{\mbox{, }}x<2\\8&{\mbox{, }}x=2\\-x+3&{\mbox{, }}x>2.\end{cases}}$
   1. $\lim _{x\to 0}h(x)$
      解答：$2(0)-3=\mathbf {-3}$
   2. $\lim _{x\to 2^{-}}h(x)$
      解答：$2(2)-3=4-3=\mathbf {1}$
   3. $\lim _{x\to 2^{+}}h(x)$
      解答：$-(2)+3=\mathbf {1}$
   4. $\lim _{x\to 2}h(x)$
      解答：左右兩側極限相等，故極限為$\mathbf {1}$