微積分學/極限/解答

基礎題

1. $\underset{x\to 2}{lim}(4x^2-3x+1)$
   解答：$4(4)-2(3)+1=16-6+1=\mathrm{𝟏𝟏}$
2. $\underset{x\to 5}{lim}{x}^2$
   解答：$5^2=\mathrm{𝟐𝟓}$

單側極限

1. $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{x^3+x^2}{x^3+2x^2}$
   解答：分解因式：$\frac{x^2}{x^2}\cdot \frac{x+1}{x+2}$，可知$x=0$為一可去間斷點，故極限為$\frac{1}{2}$
2. $\underset{x\to 7^{-}}{lim}(|x^2+x|-x)$
   解答：$|7^2+7|-7=\mathrm{𝟒𝟗}$
3. $\underset{x\to -1^{+}}{lim}\sqrt{1-x^2}$
   解答：$\sqrt{1-x^2}$在$x^2<1$時有意義，故極限為$\sqrt{1-1^2}=\mathrm{𝟎}$
4. $\underset{x\to -1^{-}}{lim}\sqrt{1-x^2}$
   解答：$\sqrt{1-x^2}$在$x^2>1$時無意義，故極限不存在

雙側極限

1. $\underset{x\to -1}{lim}\frac{1}{x-1}$
   解答：$\mathbf{-}\frac{1}{2}$
2. $\underset{x\to 4}{lim}\frac{1}{x-4}$
   解答：$\underset{x\to 4^{-}}{lim}\frac{1}{x-4}=-\mathrm{\infty }$
   $\underset{x\to 4^{+}}{lim}\frac{1}{x-4}=+\mathrm{\infty }$
   極限不存在
3. $\underset{x\to 2}{lim}\frac{1}{x-2}$
   解答：$\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{1}{x-2}=-\mathrm{\infty }$
   $\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{1}{x-2}=+\mathrm{\infty }$
   極限不存在
4. $\underset{x\to -3}{lim}\frac{x^2-9}{x+3}$
   解答：$\underset{x\to -3}{lim}\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}=\underset{x\to -3}{lim}x-3=-3-3=\mathbf{-}\mathrm{𝟔}$
5. $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x-3}$
   解答：$\underset{x\to 3}{lim}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}x+3=3+3=\mathrm{𝟔}$
6. $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x+1}$
   解答：$\underset{x\to -1}{lim}\frac{(x+1)(x+1)}{x+1}=\underset{x\to -1}{lim}x+1=-1+1=\mathrm{𝟎}$
7. $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^3+1}{x+1}$
   解答：$\underset{x\to -1}{lim}\frac{(x^2-x+1)(x+1)}{x+1}=\underset{x\to -1}{lim}{x}^2-x+1=(-1{)}^2-(-1)+1=1+1+1=\mathrm{𝟑}$
8. $\underset{x\to 4}{lim}\frac{x^2+5x-36}{x^2-16}$
   解答：$\underset{x\to 4}{lim}\frac{(x-4)(x+9)}{(x-4)(x+4)}=\underset{x\to 4}{lim}\frac{x+9}{x+4}=\frac{4+9}{4+4}=\frac{13}{8}$
9. $\underset{x\to 25}{lim}\frac{x-25}{\sqrt{x}-5}$
   解答：$\underset{x\to 25}{lim}\frac{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}{\sqrt{x}-5}=\underset{x\to 25}{lim}(\sqrt{x}+5)=\sqrt{25}+5=5+5=\mathrm{𝟏𝟎}$
10. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\left|x\right|}{x}$
    解答：$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\left|x\right|}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-x}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}-1=-1$
    $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\left|x\right|}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}1=1$
    極限不存在
11. $\underset{x\to 2}{lim}\frac{1}{(x-2{)}^2}$
    解答：當$x$趨近於$2$時，分母趨近於$0$，故極限為$\mathbf{+}\infty$
12. $\underset{x\to 3}{lim}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x-3}$
    解答：當$x$趨近於$3$時，分子趨近於$5$，分母趨近於$0$，但從左側趨近時極限為$-\mathrm{\infty }$，從右側趨近時極限為$+\mathrm{\infty }$，故極限不存在
13. $\underset{x\to -2}{lim}\frac{3x^2-8x-3}{2x^2-18}$
    解答：$\frac{3(-2{)}^2-8(-2)-3}{2(-2{)}^2-18}=\frac{3(4)+16-3}{2(4)-18}=\frac{12+16-3}{8-18}=\frac{25}{-10}=\mathbf{-}\frac{5}{2}$
14. $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x^2-2x+1}$
    解答：$\frac{2^2+2(2)+1}{2^2-2(2)+1}=\frac{4+4+1}{4-4+1}=\frac{9}{1}=\mathrm{𝟗}$
15. $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x+3}{x^2-9}$
    解答：$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{1}{x-3}$
    $\underset{x\to 3^{-}}{lim}\frac{1}{x-3}=-\mathrm{\infty }$
    $\underset{x\to 3^{+}}{lim}\frac{1}{x-3}=+\mathrm{\infty }$
    極限不存在
16. $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x+1}{x^2+x}$
    解答：$\underset{x\to -1}{lim}\frac{x+1}{x(x+1)}=\underset{x\to -1}{lim}\frac{1}{x}=\frac{1}{-1}=\mathbf{-}\mathrm{𝟏}$
17. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{1}{x^2+1}$
    解答：$\frac{1}{1^2+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
18. $\underset{x\to 1}{lim}{x}^3+5x-\frac{1}{2-x}$
    解答：$1^3+5(1)-\frac{1}{2-1}=1+5-\frac{1}{1}=6-1=\mathrm{𝟓}$
19. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x^2+2x-3}$
    解答：$\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x+1}{x+3}=\frac{1+1}{1+3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
20. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{5x}{x^2+2x-3}$
    解答：當$x$趨近於$1$時，分子趨近於$5$，分母趨近於$0$，但從左側趨近時極限為$-\mathrm{\infty }$，從右側趨近時極限為$+\mathrm{\infty }$，故極限不存在

無窮極限

1. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x+\pi }{x^2+3x+2}$
   解答：分母比分子高階，故極限為$\mathrm{𝟎}$
2. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+2x+1}{3x^2+1}$
   解答：分子與分母同階，故極限為最高次項係數之比，即$\frac{1}{3}$
3. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2+x}{2x^2-15}$
   解答：分子與分母同階，故極限為最高次項係數之比，即$\frac{3}{2}$
4. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}3x^2-2x+1$
   解答：極限為$\mathbf{+}\infty$
5. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2-32}{x^3-64}$
   解答：分母比分子高階，故極限為$\mathrm{𝟎}$
6. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}6$
   解答：極限為$\mathrm{𝟔}$
7. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2+4x}{x^4+2}$
   解答：分母比分子高階，故極限為$\mathrm{𝟎}$
8. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+3x^2+1}{2x^2+3}$
   解答：分子與分母同階，故極限為最高次項係數之比，即$\frac{3}{2}$
9. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3-3x^2+1}{3x^2+x+5}$
   解答：分子比分母高階，故極限為$\mathbf{-}\infty$
10. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+2}{x^3-2}$
    解答：分母比分子高階，故極限為$\mathrm{𝟎}$

分段函數極限

1. $f(x)=\{\begin{array}{cc}(x-2{)}^2& \text{, }x<2\\ x-3& \text{, }x\ge 2.\end{array}$
   1. $\underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)$
      解答：$(2-2{)}^2=\mathrm{𝟎}$
   2. $\underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)$
      解答：$2-3=\mathbf{-}\mathrm{𝟏}$
   3. $\underset{x\to 2}{lim}f(x)$
      解答：左右兩側極限不相等，故極限不存在
2. $g(x)=\{\begin{array}{cc}-2x+1& \text{, }x\le 0\\ x+1& \text{, }0<x<4\\ x^2+2& \text{, }x\ge 4.\end{array}$
   1. $\underset{x\to 4^{+}}{lim}g(x)$
      解答：$4^2+2=16+2=\mathrm{𝟏𝟖}$
   2. $\underset{x\to 4^{-}}{lim}g(x)$
      解答：$4+1=\mathrm{𝟓}$
   3. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}g(x)$
      解答：$0+1=\mathrm{𝟏}$
   4. $\underset{x\to 0^{-}}{lim}g(x)$
      解答：$-2(0)+1=\mathrm{𝟏}$
   5. $\underset{x\to 0}{lim}g(x)$
      解答：左右兩側極限相等，故極限為$\mathrm{𝟏}$
   6. $\underset{x\to 1}{lim}g(x)$
      解答：$1+1=\mathrm{𝟐}$
3. $h(x)=\{\begin{array}{cc}2x-3& \text{, }x<2\\ 8& \text{, }x=2\\ -x+3& \text{, }x>2.\end{array}$
   1. $\underset{x\to 0}{lim}h(x)$
      解答：$2(0)-3=\mathbf{-}\mathrm{𝟑}$
   2. $\underset{x\to 2^{-}}{lim}h(x)$
      解答：$2(2)-3=4-3=\mathrm{𝟏}$
   3. $\underset{x\to 2^{+}}{lim}h(x)$
      解答：$-(2)+3=\mathrm{𝟏}$
   4. $\underset{x\to 2}{lim}h(x)$
      解答：左右兩側極限相等，故極限為$\mathrm{𝟏}$