引力波数据分析入门

前言

这是一本中文的引力波（数据分析）入门教科书。

广义相对论回顾

时空流形

流形的严格数学定义比较抽象。在这里我们简单地把时空流行定义为配有度规和联络的${ℝ}^4$空间。

坐标变换

对时空流行中的任意一个张量场T，假设其在坐标系$\{x^{\mu }\}$和坐标系$\{x^{{\mu }^{\prime }}\}$的分量分别为${T^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_m}}_{{\nu }_1{\nu }_2\cdots {\nu }_n}$和${T^{\mu {\text{'}}_1\mu {\text{'}}_2\cdots \mu {\text{'}}_m}}_{\nu {\text{'}}_1\nu {\text{'}}_2\cdots \nu {\text{'}}_n}$，则这两组分量满足

${T^{\mu {\text{'}}_1\mu {\text{'}}_2\cdots \mu {\text{'}}_m}}_{\nu {\text{'}}_1\nu {\text{'}}_2\cdots \nu {\text{'}}_n}=\frac{\partial x^{\mu {\text{'}}_1}}{\partial x^{{\mu }_1}}\cdots \frac{\partial x^{\mu {\text{'}}_m}}{\partial x^{{\mu }_m}}\frac{\partial x^{{\nu }_1}}{\partial x^{\nu {\text{'}}_1}}\cdots \frac{\partial x^{{\nu }_n}}{\partial x^{\nu {\text{'}}_n}}{T^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_m}}_{{\nu }_1{\nu }_2\cdots {\nu }_n}.$

需要注意的是：

1. 张量场T本身和坐标系的选取没有关系；
2. 张量场T的坐标分量的具体值依赖于坐标系的选取，也就说T在不同的坐标系中会有不同的分量。而这些分量满足如上的坐标变换关系式。

度规

度规用来定义时空中两个点的距离。

联络

联络决定了时空中某个矢量如何平移。原则上联络和度规是相互独立的。然而，在广义相对论中，我们要求所选取的联络和度规是相适配的，从而唯一确定了一组联络：

1. 待补充

而且需要注意，联络的分量并不满足张量坐标变换率，所以不是张量。

引力波基础

弱场近似

广义相对论中的弱场是和平坦时空相比较的。在一个可微流形上，若存在一套坐标系使得度规可以拆分成如下形式：$g_{\alpha \beta }={\eta }_{\alpha \beta }+h_{\alpha \beta }$，并且有$|h_{\alpha \beta }|\ll 1$恒成立

引力波的波源

连续引力波源

连续引力波源可以由单个带自旋的大质量物体（例如密度极大的中子星）产生。 如果这样的物体（中子星）其表面有突起（bump），或者其表面不是完美的球面，在其自转的时候就会产生引力波。 如果其自转的角速度是恒定的（也就是不随时间变化），那么其产生的引力波的频率和振幅也会是恒定的。 我们将性质（比如频率和振幅）稳定的引力波成为连续引力波。同时，我们称这样的物体（中子星）为连续引力波源。

致密双星旋进

质量相近的双星绕着它们的共同质心做椭圆运动。

致密双星是指由两个致密星体（比如白矮星、黑洞和中子星等）构成的双星系统。通常有三类产生的引力波可以被LIGO探测到：

1. 双黑洞系统
2. 双中子星系统
3. 中子星--黑洞系统

截至2019年3月份，LIGO 和 Virgo 一共探测到10个双黑洞系统和1个双中子星系统。引力波探测的下一个目标就是捕捉到中子星--黑洞系统辐射的引力波信号。

近期(2019年3月份)，来自普林斯顿大学的一个研究组声称从 LIGO O1 的数据中分析得到另一个引力波信号：GW151216

数据分析的一些常用算法

粒子群优化(PSO)算法

粒子群优化 (particle swarm optimization)

PSO算法的动力学演化方程

速度演化方程

$v_j^{(i)}[k+1]=w\ast v_j^{(i)}[k]+c_1\ast r_1,j\ast (p_j^{(i)}[k]-x_j^{(i)}[k])+c_2\ast r_2,j\ast (g_j^{(i)}[k]-x_j^{(i)}[k])$

其中${\overline{x}}^{(i)}[k]=(x_0^{(i)}[k],x_1^{(i)}[k],\mathrm{...},x_D^{(i)}[k])$是第 i 个粒子在 第 k 次迭代中的位置， 而${\overline{v}}^{(i)}[k]$ 是第 i 个粒子在 第 k 次迭代中的速度。

位置演化方程

$x_j^{(i)}[k+1]=x_j^{(i)}[k]+v_j^{(i)}[k+1]$

PSO 算法在 julia 编程语言中的实现

PSO算法在julia编程语言中的实现

参考文献

以下是一些 PSO 算法在引力波数据分析中的应用的参考文献：

Wang, Yan, and Soumya D. Mohanty. "Particle swarm optimization and gravitational wave data analysis: Performance on a binary inspiral testbed." Physical Review D 81, no. 6 (2010): 063002.

Weerathunga, Thilina S., and Soumya D. Mohanty. "Performance of particle swarm optimization on the fully-coherent all-sky search for gravitational waves from compact binary coalescences." Physical Review D 95, no. 12 (2017): 124030.

Normandin, Marc E., Soumya D. Mohanty, and Thilina S. Weerathunga. "Particle swarm optimization based search for gravitational waves from compact binary coalescences: Performance improvements." Physical Review D 98, no. 4 (2018): 044029.

Srivastava, Varun, K. Rajesh Nayak, and Sukanta Bose. "Toward low-latency coincident precessing and coherent aligned-spin gravitational-wave searches of compact binary coalescences with particle swarm optimization." arXiv preprint arXiv:1811.02401 (2018).

引力波数据分析程序简介

GstLAL

GstLAL

PyCBC

PyCBC 是一个基于 python 编程语言的引力波数据分析的软件包。

GWPL

GWPL

参考文献

点开链接有惊喜。

初级读本

Poisson, Eric, and Clifford M. Will. Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic. Cambridge University Press, 2014.

Misner, Charles W., Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, and David I. Kaiser. Gravitation. Princeton University Press, 2017.

Creighton, Jolien DE, and Warren G. Anderson. Gravitational-wave physics and astronomy: An introduction to theory, experiment and data analysis. John Wiley & Sons, 2012.

Schutz, Bernard F. Gravitational wave data analysis. Vol. 253. Springer Science & Business Media, 2012.

进阶读本

Maggiore, Michele. Gravitational Waves: Vol. 1: Theory and Experiments. Oxford university press, 2008.

Maggiore, Michele. Gravitational Waves: Vol. 2: Astrophysics and Cosmology. Oxford University Press, 2018.

Jaranowski, Piotr, and Andrzej Królak. Analysis of gravitational-wave data. Vol. 29. Cambridge University Press, 2009.