微積分學/求和符號

求和符號使求和的表達式更簡單緊湊。大寫的希臘字母Σ被用來表示一組數字的總和。

例子

$\sum _{i=3}^{7}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}$

設$f$為函數，$M,N$為整數且$N<M$，則

$\sum _{i=N}^{M}f(i)=f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\cdots +f(M)$

稱$N$為下極限，$M$為上極限。

$i$也可以用別的字母代替，因此，我們稱$i$為虛擬變量。所以

$\sum _{i=1}^{4}i=\sum _{j=1}^{4}j=\sum _{\alpha =1}^{4}\alpha =1+2+3+4$

通常我們使用字母$i$， $j$ ， $k$， $m$表示虛擬變量。

例子

$\sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5$

本例中，虛擬變量為$i$，下極限為1，上極限為5。

例子

有時式中沒有虛擬變量，比如說

$\sum _{1}^{4}i^{3}=100$

此時虛擬變量可從上下文得知。

常用結論

$\sum _{i=1}^{n}c=c+c+\cdots +c=nc\ ,\ c\in \mathbb {R}$

$\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

$\sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{t\to \infty }\left[\sum _{i=1}^{t}a_{i}\right]$