初等數論/一次不定方程

数论 > 初等数论 > 初等數論/一次不定方程

---

一元一次方程的解

在不考虑解为整数的情况下，我们很容易得出方程$ax=c$的解为$x=c/a$,

现在，我们缩小讨论范围，如果要求$x\in \mathbb{Z}$，那么，很显然方程有解的充要条件是$a|c$

二元一次方程的解

二元一次不定方程$a_1{x}_1+a_2{x}_2=b$有解的充要條件為：

$(a_1,a_2)|b$且其解為：

$x_1=x_{1,0}+a_{2}t/(a_1,a_2)$

$x_2=x_{2,0}-a_{1}t/(a_1,a_2)$

其中$x_{1,0}$和$x_{1,0}$是$x_1$和$x_2$的一個已知的解，t為常數，$x_1$和$x_2$可由輾轉相除法給出

習題

第一部份─基礎題

1. 請給出$3x+4y=12$的一組整數解$(x,y)\in \mathbb{Z}$。
2. 承上題，若$y\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}$，則使$y$最小的解$(x,y)$為？