初等數論/一次不定方程

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一元一次方程的解

在不考慮解為整數的情況下，我們很容易得出方程$ax=c$的解為$x=c/a$,

現在，我們縮小討論範圍，如果要求$x\in \mathbb {Z}$，那麼，很顯然方程有解的充要條件是$a|c$

二元一次方程的解

二元一次不定方程$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}=b$有解的充要條件為：

$(a_{1},a_{2})|b$且其解為：

$x_{1}=x_{1,0}+a_{2}t/(a_{1},a_{2})$

$x_{2}=x_{2,0}-a_{1}t/(a_{1},a_{2})$

其中$x_{1,0}$和$x_{1,0}$是$x_{1}$和$x_{2}$的一個已知的解，t為常數，$x_{1}$和$x_{2}$可由輾轉相除法給出

習題

第一部份─基礎題

1. 請給出$3x+4y=12$的一組整數解$\left(x,y\right)\in \mathbb {Z}$。
2. 承上題，若$y\in \mathbb {N} \cup \left\{0\right\}$，則使$y$最小的解$\left(x,y\right)$為？