初等数论/一次不定方程

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一元一次方程的解

在不考虑解为整数的情况下，我们很容易得出方程$ax=c$的解为$x=c/a$,

现在，我们缩小讨论范围，如果要求$x\in \mathbb {Z}$，那么，很显然方程有解的充要条件是$a|c$

二元一次方程的解

二元一次不定方程$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}=b$有解的充要条件为：

$(a_{1},a_{2})|b$且其解为：

$x_{1}=x_{1,0}+a_{2}t/(a_{1},a_{2})$

$x_{2}=x_{2,0}-a_{1}t/(a_{1},a_{2})$

其中$x_{1,0}$和$x_{1,0}$是$x_{1}$和$x_{2}$的一个已知的解，t为常数，$x_{1}$和$x_{2}$可由辗转相除法给出

习题

第一部分─基础题

1. 请给出$3x+4y=12$的一组整数解$\left(x,y\right)\in \mathbb {Z}$。
2. 承上题，若$y\in \mathbb {N} \cup \left\{0\right\}$，则使$y$最小的解$\left(x,y\right)$为？