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國中數學/國中數學七年級/1-1 正數與負數

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  國中數學七年級
1-1 正數與負數
1-2 正負數的加減 

以下是維基百科上對於北極的氣候介紹:

北極冬天(1月)的氣溫從)到℃(℉),平均約在℃(℉)。夏天(6至8月)的溫度平均會在冰點,有紀錄以來的最高溫為℃(℉),比南極的最高溫℃(℉)要高很多。

在這個文章出現了相當多以前沒看過的數字,如、……等等,其實這些數字代表比0小多少的意思。在底下我們將介紹這樣的數字。

認識負數

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生活上有許多相對的量。如收入與支出、賺錢與賠錢、高於與低於、東方與西方、贏與輸……等等。在數學上,我們可以用符號「」與「」來代表這些代表「相反」或「相對」的量,如今天早上媽媽給雨婷元當作零用錢,雨婷的錢增加元,可以紀錄為元;而雨婷花了元買早餐,所以雨婷的錢減少元,可以紀錄為元。
在上數學課的時候,雨婷舉手回答老師的問題,老師以學期總成績分作為獎勵,老師可以在紀錄表上用來記錄;敏翔在上課玩手機,老師以學期總成績分與沒收手機作為懲罰,老師可以在紀錄表上用來記錄。
冬天的氣溫在緯度比較高的地方常常會出現低於攝氏度的低溫,如今天新聞提到中國的城市哈爾濱的氣溫為℃,這表示哈爾濱今天的氣溫比℃還要低℃;在前言提到北極的冬天平均氣溫約在℃左右,這就表示北極的冬天平均氣溫大約比℃還要低℃。

例題
以海平面為基準,高於海平面公尺我們記作公尺,則:

玉山的最高峰高於海平面公尺,我們記作為何?
馬里亞納海溝最低點低於海平面公尺,我們記作為何?

因為高於海平面公尺我們記作

所以高於海平面為正,低於海平面為負。
因為高於海平面公尺,所以記作公尺。
因為低於海平面公尺,所以記作公尺。

習題

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習題東方與西方是相對的量。若怡安往東方走公尺,我們記作公尺,則:
梓欣往西方走公尺,我們記作什麼?[解答 1]
孟珍走了公尺,這代表孟珍往什麼方向走了幾公尺?[解答 2]
習題偉展的身高為公分。以偉展的身高為基準,俊鑫的身高比偉展公分,我們記作公分,則:
雅綺偉展公分,我們記作什麼?[解答 3]
志民的身高為公分,我們記作什麼?[解答 4]

性質符號與運算符號

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若「」、「」是用來表示數字的正負性,則我們稱這兩個符號為性質符號。如在例題的「」、的「」;
若「」、「」是用來表示算式的加減法,則我們稱這兩個符號為運算符號。如的「」、的「」。

比較項目 性質符號 運算符號
說明
數字的正負性
算式的加減法
舉例

性質符號為「」的數我們稱作正數;性質符號為「」的數我們稱作負數,這兩種數合稱為有號數;而「」沒有任何性質符號,我們稱為中性數[註 1][註 2]
另外,所有的正數都大於所有的負數都小於
在正數當中,像……這樣的數我們稱為正整數;在負數當中,像……這樣的數我們稱為負整數。而正整數負整數合稱為整數

同號數與異號數

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兩個數如果同時為正數同時為負數(性質符號相同),則我們稱這兩個數為同號數。如
兩個數如果一個是正數且一個是負數(性質符號相異),則我們稱這兩個數為異號數。如

習題

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習題以下各組數是同號數還是異號數?在表格正確的空格中打勾。[解答 5]

題號 題目 同號數 異號數
(1)
(2)
(3)

數線

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如下圖,這是一支攝氏溫度計。將這支溫度計傾倒如圖,我們可以將上頭的刻度畫在一條線上(如圖)。

溫度計
傾倒的溫度計
將圖的刻度畫在一條線上

像圖這樣的圖形我們就稱為數線

數線具有三大要素:[註 3]

  1. 數線:數線上代表的位置,時常使用英文字母表示。
  2. 正向:數線上數字愈來愈大的方向,一般來說會在數線的右方[註 4]
    • 正數都在原點右邊,負數都在原點左邊
    • 在數線上,愈右邊的數字愈;愈左邊的數字愈
  3. 單位長:數線上每個格子代表的長度。例如在圖中,每格單位長為單位。
    • 單位長的長度沒有限制。你可以每格為公分,也可以每格公分,甚至可以每格公分。
    • 單位長代表的長度沒有限制。你可以每格代表單位,也可以每格代表單位,甚至可以每格代表單位。

數線上的點

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數線上的每一個點都代表一個,若數線上的點[註 5]所代表的數字為[註 6],則坐標,記作。 如下圖點坐標為,記作點坐標為,記作


數線上的分數點

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數線上也可以表示代表分數的點。如在下圖中,

  • 點介於之間等分中從左而右數來[註 7]格線上,所以點代表,可以記作
  • 點介於之間等分中從右而左數來[註 8]格線上,所以點代表,可以記作


數線上的小數點

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數線上也可以表示代表小數的點。如在下圖中,

  • 點介於之間等分中從左而右數來第格線上,所以代表,可以記作
  • 點介於之間等分中從右而左數來第格線上,所以點代表,可以記作


標示數線上的點

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  1. 整數點:從原點出發,
    • 畫正整數就從左往右數相同數字的格子數。
      • 如圖,要在數線上畫出,從原點出發從左而右數個格子,到達點,點即代表的點。
    • 畫負整數就從右往左數相同數字的格子數。如圖中代表的點為點。
      • 如圖,要在數線上畫出,從原點出發從右而左數個格子,到達點,點即代表的點。

  2. 分數點:設分數為,其中最簡分數
    • 畫正分數:在之間分成格,從左而右數第個格線。
      • 如圖,要在數線上畫出,先在之間分成格,從左而右數來第個格線就是。(圖中的點)
    • 畫負分數:在左邊一格之間分成格,從右而左數第個格線。
      • 如圖,要在數線上畫出,先在之間分成格,從右而左數來第個格線就是。(圖中的點)

  3. 小數點:將小數化為最簡分數,再利用畫分數的方法畫出。
    • 畫正小數:如圖,要在數線上畫出,先將化成分數,再將之間分成格,從左而右數來第個格線就是,也就是。(圖中的點)
    • 畫負小數:如圖,要在數線上畫出,先將化成分數,再將之間分成格,從右而左數來第個格線就是,也就是。(圖中的點)

比大小

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在數線上,

  1. 愈往數線右方的數愈,愈往數線左方的數愈
  2. 負數正數
例題
比較的大小關係。

如圖,在數線上右邊,所以


習題

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習題比較以下各組數的大小,在表格填入[解答 6]

題號 數字 答案 數字

三一律

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為任意兩個數,則三個之中必有一個,而且只有一個會成立。

遞移律

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為任意三個數,而且若,則
同樣的,若,則;若,則

例題
比較的大小關係。
因為為正數,為負數,所以同時比大,

又因為, 所以

相反數

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參見:相反數

  • 某國中舉辦班際籃球賽,七年一班與七年二班對戰,最後的結果為七年一班贏七年二班分。若我們將贏球記作正分,輸球記作負分,則對於七年一班來說,他們班與七年二班對戰的結果我們可以記作「分」,至於對於七年二班來說,他們與七年一班對戰的結果我們可以記作「分」。
  • 氣溫高於度,我們記作「℃」;低於度,我們記作「℃」。

我們常常在生活上看到這樣的例子,雖然兩者的數據是相同的,但是因為性質符號不同的關係所以兩者並不相同,這樣的兩個數我們互稱為「相反數」。如 的相反數為的相反數為
特別的,我們定義的相反數為

習題

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習題以下各數的相反數為何?[解答 7]

題號 題目 相反數

問題與討論

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  1. 的相反數和的相反數何者比較大?[問題 1]
  2. 的相反數和的相反數何者比較大?[問題 2]
  3. 都是正數而且,則的相反數與的相反數何者比較大?[問題 3]
  4. 都是負數而且,則的相反數與的相反數何者比較大?[問題 4]

相反數的記號

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為一個數,則的相反數我們記作
的相反數我們記作的相反數我們記作

問題與討論

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為一個不為的數,則是正數還是負數?[問題 5]

絕對值

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參見:絕對值
在剛剛的例子中,

  • 七年一班贏七年二班分。
  • 溫度與℃相差℃。

我們只是想要表達一個數與基準量的差異,可以用什麼符號表示呢?
答案是絕對值
一個數的絕對值指的是這個數在數線上表示的點與原點的距離。如圖所示,數線上表示的點與原點相距單位長,我們就說的絕對值為;數線上表示的點與原點相距單位長,我們就說的絕對值為

與原點的距離都是,所以絕對值都是


絕對值的符號

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是一個數,則的絕對值我們記作。 如的絕對值為,我們記作的絕對值為,我們記作
特別的,我們定義

習題

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習題寫出以下各數的值。[解答 8]

題號 題目 答案

問題與討論

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  1. 是非的數,則是正數還是負數?[問題 6]
  2. 是兩個數而且,則何者比較大?[問題 7]
  3. 都是正數而且,則何者比較大?[問題 8]
  4. 都是負數而且,則何者比較大?[問題 9]

絕對值與相反數的關係

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  1. 兩個相異的數互為相反數,則
  2. 兩個相異的數滿足,則的相反數是的相反數是
  3. 正數的絕對值等於自己本身。即若是正數,則
  4. 負數的絕對值等於負數的相反數。即若是負數,則
  5. 的絕對值等於本身,也等於的相反數。
  6. ,則
  7. ,則

課後總習題

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基礎題

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  1. 賺錢與虧錢是相對的。小芳經營一家小吃攤,上個月虧本元,小芳記作元,那這個月賺元,小芳應該記作幾元?
  2. 在數線上想要標示,至少要在數線的之間分割成幾格?
  3. 比較的大小。
  4. 寫出以下各數的相反數:
  5. 寫出以下各數的絕對值:
  6. 比較的大小。
  7. 畫出一條數線,並且標示出三個點。

進階題

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  1. 以中午時為基準,下午時記作時,那麼上午時要記作幾時?
  2. 在數線上想要標示,至少要在數線的之間分割成幾格?
  3. 若甲數為整數而且甲數的絕對值小於,則滿足條件的甲數有幾個?
  4. ,則的相反數是多少?
  5. 已知是整數而且,則這樣的總共有幾個?

註解

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  1. 也稱作「調和數」。
  2. 既不是正數也不是負數。
  3. 數線三大要素缺一不可。
  4. 如果本書沒有特別說明,數線的正向都在右邊。
  5. 數學上,「點」只代表位置,本身不具有任何的大小。
  6. 代表隨意的數字,它可以是正數(如),也可以是負數(如),更可以是;它可以是整數(如),也可以是分數(如),更可以是小數(如)。
  7. 數線上代表正數的點是從左而右數,只要看、……的順序方向你就知道為什麼了。
  8. 數線上代表負數的點是從右而左數,只要看、……的順序方向你就知道為什麼了。

習題解答

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  1. 習題公尺
  2. 習題往西方走公尺
  3. 習題公分
  4. 習題公分
  5. 習題
    題號 題目 同號數 異號數
    (1)
    (2)
    (3)
  6. 習題
    題號 數字 答案 數字
  7. 習題
    題號 題目 相反數
  8. 習題
    題號 題目 答案

問題與討論解答

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  1. 的相反數。
  2. 的相反數。
  3. 的相反數。
  4. 的相反數。
  5. 可能是正數也可能是負數。
  6. 正數。
  7. 不一定。