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国中数学/国中数学七年级/1-1 正数与负数

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  国中数学七年级
1-1 正数与负数
1-2 正负数的加减 

以下是维基百科上对于北极的气候介绍:

北极冬天(1月)的气温从)到℃(℉),平均约在℃(℉)。夏天(6至8月)的温度平均会在冰点,有纪录以来的最高温为℃(℉),比南极的最高温℃(℉)要高很多。

在这个文章出现了相当多以前没看过的数字,如、……等等,其实这些数字代表比0小多少的意思。在底下我们将介绍这样的数字。

认识负数

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生活上有许多相对的量。如收入与支出、赚钱与赔钱、高于与低于、东方与西方、赢与输……等等。在数学上,我们可以用符号“”与“”来代表这些代表“相反”或“相对”的量,如今天早上妈妈给雨婷元当作零用钱,雨婷的钱增加元,可以纪录为元;而雨婷花了元买早餐,所以雨婷的钱减少元,可以纪录为元。
在上数学课的时候,雨婷举手回答老师的问题,老师以学期总成绩分作为奖励,老师可以在纪录表上用来记录;敏翔在上课玩手机,老师以学期总成绩分与没收手机作为惩罚,老师可以在纪录表上用来记录。
冬天的气温在纬度比较高的地方常常会出现低于摄氏度的低温,如今天新闻提到中国的城市哈尔滨的气温为℃,这表示哈尔滨今天的气温比℃还要低℃;在前言提到北极的冬天平均气温约在℃左右,这就表示北极的冬天平均气温大约比℃还要低℃。

例题
以海平面为基准,高于海平面公尺我们记作公尺,则:

玉山的最高峰高于海平面公尺,我们记作为何?
马里亚纳海沟最低点低于海平面公尺,我们记作为何?

因为高于海平面公尺我们记作

所以高于海平面为正,低于海平面为负。
因为高于海平面公尺,所以记作公尺。
因为低于海平面公尺,所以记作公尺。

习题

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习题东方与西方是相对的量。若怡安往东方走公尺,我们记作公尺,则:
梓欣往西方走公尺,我们记作什么?[解答 1]
孟珍走了公尺,这代表孟珍往什么方向走了几公尺?[解答 2]
习题伟展的身高为公分。以伟展的身高为基准,俊鑫的身高比伟展公分,我们记作公分,则:
雅绮伟展公分,我们记作什么?[解答 3]
志民的身高为公分,我们记作什么?[解答 4]

性质符号与运算符号

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若“”、“”是用来表示数字的正负性,则我们称这两个符号为性质符号。如在例题的“”、的“”;
若“”、“”是用来表示算式的加减法,则我们称这两个符号为运算符号。如的“”、的“”。

比较项目 性质符号 运算符号
说明
数字的正负性
算式的加减法
举例

性质符号为“”的数我们称作正数;性质符号为“”的数我们称作负数,这两种数合称为有号数;而“”没有任何性质符号,我们称为中性数[注 1][注 2]
另外,所有的正数都大于所有的负数都小于
在正数当中,像……这样的数我们称为正整数;在负数当中,像……这样的数我们称为负整数。而正整数负整数合称为整数

同号数与异号数

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两个数如果同时为正数同时为负数(性质符号相同),则我们称这两个数为同号数。如
两个数如果一个是正数且一个是负数(性质符号相异),则我们称这两个数为异号数。如

习题

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习题以下各组数是同号数还是异号数?在表格正确的空格中打勾。[解答 5]

题号 题目 同号数 异号数
(1)
(2)
(3)

数线

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如下图,这是一支摄氏温度计。将这支温度计倾倒如图,我们可以将上头的刻度画在一条线上(如图)。

温度计
倾倒的温度计
将图的刻度画在一条线上

像图这样的图形我们就称为数线

数线具有三大要素:[注 3]

  1. 数线:数线上代表的位置,时常使用英文字母表示。
  2. 正向:数线上数字愈来愈大的方向,一般来说会在数线的右方[注 4]
    • 正数都在原点右边,负数都在原点左边
    • 在数线上,愈右边的数字愈;愈左边的数字愈
  3. 单位长:数线上每个格子代表的长度。例如在图中,每格单位长为单位。
    • 单位长的长度没有限制。你可以每格为公分,也可以每格公分,甚至可以每格公分。
    • 单位长代表的长度没有限制。你可以每格代表单位,也可以每格代表单位,甚至可以每格代表单位。

数线上的点

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数线上的每一个点都代表一个,若数线上的点[注 5]所代表的数字为[注 6],则坐标,记作。 如下图点坐标为,记作点坐标为,记作


数线上的分数点

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数线上也可以表示代表分数的点。如在下图中,

  • 点介于之间等分中从左而右数来[注 7]格线上,所以点代表,可以记作
  • 点介于之间等分中从右而左数来[注 8]格线上,所以点代表,可以记作


数线上的小数点

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数线上也可以表示代表小数的点。如在下图中,

  • 点介于之间等分中从左而右数来第格线上,所以代表,可以记作
  • 点介于之间等分中从右而左数来第格线上,所以点代表,可以记作


标示数线上的点

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  1. 整数点:从原点出发,
    • 画正整数就从左往右数相同数字的格子数。
      • 如图,要在数线上画出,从原点出发从左而右数个格子,到达点,点即代表的点。
    • 画负整数就从右往左数相同数字的格子数。如图中代表的点为点。
      • 如图,要在数线上画出,从原点出发从右而左数个格子,到达点,点即代表的点。

  2. 分数点:设分数为,其中最简分数
    • 画正分数:在之间分成格,从左而右数第个格线。
      • 如图,要在数线上画出,先在之间分成格,从左而右数来第个格线就是。(图中的点)
    • 画负分数:在左边一格之间分成格,从右而左数第个格线。
      • 如图,要在数线上画出,先在之间分成格,从右而左数来第个格线就是。(图中的点)

  3. 小数点:将小数化为最简分数,再利用画分数的方法画出。
    • 画正小数:如图,要在数线上画出,先将化成分数,再将之间分成格,从左而右数来第个格线就是,也就是。(图中的点)
    • 画负小数:如图,要在数线上画出,先将化成分数,再将之间分成格,从右而左数来第个格线就是,也就是。(图中的点)

比大小

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在数线上,

  1. 愈往数线右方的数愈,愈往数线左方的数愈
  2. 负数正数
例题
比较的大小关系。

如图,在数线上右边,所以


习题

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习题比较以下各组数的大小,在表格填入[解答 6]

题号 数字 答案 数字

三一律

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为任意两个数,则三个之中必有一个,而且只有一个会成立。

递移律

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为任意三个数,而且若,则
同样的,若,则;若,则

例题
比较的大小关系。
因为为正数,为负数,所以同时比大,

又因为, 所以

相反数

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参见:相反数

  • 某国中举办班际篮球赛,七年一班与七年二班对战,最后的结果为七年一班赢七年二班分。若我们将赢球记作正分,输球记作负分,则对于七年一班来说,他们班与七年二班对战的结果我们可以记作“分”,至于对于七年二班来说,他们与七年一班对战的结果我们可以记作“分”。
  • 气温高于度,我们记作“℃”;低于度,我们记作“℃”。

我们常常在生活上看到这样的例子,虽然两者的数据是相同的,但是因为性质符号不同的关系所以两者并不相同,这样的两个数我们互称为“相反数”。如 的相反数为的相反数为
特别的,我们定义的相反数为

习题

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习题以下各数的相反数为何?[解答 7]

题号 题目 相反数

问题与讨论

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  1. 的相反数和的相反数何者比较大?[问题 1]
  2. 的相反数和的相反数何者比较大?[问题 2]
  3. 都是正数而且,则的相反数与的相反数何者比较大?[问题 3]
  4. 都是负数而且,则的相反数与的相反数何者比较大?[问题 4]

相反数的记号

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为一个数,则的相反数我们记作
的相反数我们记作的相反数我们记作

问题与讨论

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为一个不为的数,则是正数还是负数?[问题 5]

绝对值

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参见:绝对值
在刚刚的例子中,

  • 七年一班赢七年二班分。
  • 温度与℃相差℃。

我们只是想要表达一个数与基准量的差异,可以用什么符号表示呢?
答案是绝对值
一个数的绝对值指的是这个数在数线上表示的点与原点的距离。如图所示,数线上表示的点与原点相距单位长,我们就说的绝对值为;数线上表示的点与原点相距单位长,我们就说的绝对值为

与原点的距离都是,所以绝对值都是


绝对值的符号

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是一个数,则的绝对值我们记作。 如的绝对值为,我们记作的绝对值为,我们记作
特别的,我们定义

习题

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习题写出以下各数的值。[解答 8]

题号 题目 答案

问题与讨论

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  1. 是非的数,则是正数还是负数?[问题 6]
  2. 是两个数而且,则何者比较大?[问题 7]
  3. 都是正数而且,则何者比较大?[问题 8]
  4. 都是负数而且,则何者比较大?[问题 9]

绝对值与相反数的关系

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  1. 两个相异的数互为相反数,则
  2. 两个相异的数满足,则的相反数是的相反数是
  3. 正数的绝对值等于自己本身。即若是正数,则
  4. 负数的绝对值等于负数的相反数。即若是负数,则
  5. 的绝对值等于本身,也等于的相反数。
  6. ,则
  7. ,则

课后总习题

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基础题

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  1. 赚钱与亏钱是相对的。小芳经营一家小吃摊,上个月亏本元,小芳记作元,那这个月赚元,小芳应该记作几元?
  2. 在数线上想要标示,至少要在数线的之间分割成几格?
  3. 比较的大小。
  4. 写出以下各数的相反数:
  5. 写出以下各数的绝对值:
  6. 比较的大小。
  7. 画出一条数线,并且标示出三个点。

进阶题

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  1. 以中午时为基准,下午时记作时,那么上午时要记作几时?
  2. 在数线上想要标示,至少要在数线的之间分割成几格?
  3. 若甲数为整数而且甲数的绝对值小于,则满足条件的甲数有几个?
  4. ,则的相反数是多少?
  5. 已知是整数而且,则这样的总共有几个?

注解

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  1. 也称作“调和数”。
  2. 既不是正数也不是负数。
  3. 数线三大要素缺一不可。
  4. 如果本书没有特别说明,数线的正向都在右边。
  5. 数学上,“点”只代表位置,本身不具有任何的大小。
  6. 代表随意的数字,它可以是正数(如),也可以是负数(如),更可以是;它可以是整数(如),也可以是分数(如),更可以是小数(如)。
  7. 数线上代表正数的点是从左而右数,只要看、……的顺序方向你就知道为什么了。
  8. 数线上代表负数的点是从右而左数,只要看、……的顺序方向你就知道为什么了。

习题解答

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  1. 习题公尺
  2. 习题往西方走公尺
  3. 习题公分
  4. 习题公分
  5. 习题
    题号 题目 同号数 异号数
    (1)
    (2)
    (3)
  6. 习题
    题号 数字 答案 数字
  7. 习题
    题号 题目 相反数
  8. 习题
    题号 题目 答案

问题与讨论解答

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  1. 的相反数。
  2. 的相反数。
  3. 的相反数。
  4. 的相反数。
  5. 可能是正数也可能是负数。
  6. 正数。
  7. 不一定。