国中数学/国中数学七年级/1-1 正数与负数

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国中数学七年级
1-1 正数与负数

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以下是维基百科上对于北极的气候介绍：

北极冬天（1月）的气温从 $-43$ ℃（ $-45$ ℉）到 $-26$ ℃（ $-15$ ℉），平均约在 $-34$ ℃（ $-29$ ℉）。夏天（6至8月）的温度平均会在冰点，有纪录以来的最高温为 $5$ ℃（ $41$ ℉），比南极的最高温 $-12.3$ ℃（ $-9.9$ ℉）要高很多。

在这个文章出现了相当多以前没看过的数字，如 $-43$ 、 $-45$ 、 $-26$ 、 $-12.3$ 、……等等，其实这些数字代表比0小多少的意思。在底下我们将介绍这样的数字。

认识负数

生活上有许多相对的量。如收入与支出、赚钱与赔钱、高于与低于、东方与西方、赢与输……等等。在数学上，我们可以用符号“ $+$ ”与“ $-$ ”来代表这些代表“相反”或“相对”的量，如今天早上妈妈给雨婷 $100$ 元当作零用钱，雨婷的钱增加了 $100$ 元，可以纪录为 $+100$ 元；而雨婷花了 $50$ 元买早餐，所以雨婷的钱减少了 $50$ 元，可以纪录为 $-50$ 元。
在上数学课的时候，雨婷举手回答老师的问题，老师以加学期总成绩 $3$ 分作为奖励，老师可以在纪录表上用 $+3$ 来记录；敏翔在上课玩手机，老师以扣学期总成绩 $5$ 分与没收手机作为惩罚，老师可以在纪录表上用 $-5$ 来记录。
冬天的气温在纬度比较高的地方常常会出现低于摄氏 $0$ 度的低温，如今天新闻提到中国的城市哈尔滨的气温为 $-25$ ℃，这表示哈尔滨今天的气温比 $0$ ℃还要低 $25$ ℃；在前言提到北极的冬天平均气温约在 $-34$ ℃左右，这就表示北极的冬天平均气温大约比 $0$ ℃还要低 $34$ ℃。

例题

1

以海平面为基准，高于海平面

100

公尺我们记作

+100

公尺，则：

$(1)$ 玉山的最高峰高于海平面 $3952.43$ 公尺，我们记作为何？
$(2)$ 马里亚纳海沟最低点低于海平面 $11034$ 公尺，我们记作为何？

解

因为高于海平面

100

公尺我们记作

+100

，

所以高于海平面为正，低于海平面为负。
$(1)$ 因为高于海平面 $3952.43$ 公尺，所以记作 $+3952.43$ 公尺。
$(2)$ 因为低于海平面 $11034$ 公尺，所以记作 $-11034$ 公尺。

习题

习题 $1.$ 东方与西方是相对的量。若怡安往东方走 $100$ 公尺，我们记作 $+100$ 公尺，则：
$(1)$ 梓欣往西方走 $70$ 公尺，我们记作什么？^{[解答 1]}
$(2)$ 孟珍走了 $-120$ 公尺，这代表孟珍往什么方向走了几公尺？^{[解答 2]}
习题 $2.$ 伟展的身高为 $163$ 公分。以伟展的身高为基准，俊鑫的身高比伟展高 $3$ 公分，我们记作 $+3$ 公分，则：
$(1)$ 雅绮比伟展矮 $5$ 公分，我们记作什么？^{[解答 3]}
$(2)$ 志民的身高为 $168$ 公分，我们记作什么？^{[解答 4]}

性质符号与运算符号

若“ $+$ ”、“ $-$ ”是用来表示数字的正负性，则我们称这两个符号为性质符号。如在例题 $1$ 的 ${\color {red}+}3952.43$ 的“ $+$ ”、 ${\color {red}-}11034$ 的“ $-$ ”；
若“ $+$ ”、“ $-$ ”是用来表示算式的加减法，则我们称这两个符号为运算符号。如 $3{\color {red}+}5=8$ 的“ $+$ ”、 $7{\color {red}-}2=5$ 的“ $-$ ”。

比较项目	性质符号	运算符号
说明	数字的正负性	算式的加减法
举例	${\color {red}-}3952.43$ 、 ${\color {red}-}11034$	$3{\color {red}+}5=8$ 、 $7{\color {red}-}2=5$

性质符号为“ $+$ ”的数我们称作正数；性质符号为“ $-$ ”的数我们称作负数，这两种数合称为有号数；而“ $0$ ”没有任何性质符号，我们称为中性数^{[注 1]}^{[注 2]}。
另外，所有的正数都大于 $0$ ；所有的负数都小于 $0$ 。
在正数当中，像 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ ……这样的数我们称为正整数；在负数当中，像 $-1$ 、 $-2$ 、 $-3$ 、 $-4$ ……这样的数我们称为负整数。而正整数、负整数与 $0$ 合称为整数。

同号数与异号数

两个数如果同时为正数或同时为负数(性质符号相同)，则我们称这两个数为同号数。如 $11$ 与 ${\frac {3}{5}}$ ；
两个数如果一个是正数且一个是负数(性质符号相异)，则我们称这两个数为异号数。如 $4$ 与 $-1.9$ 。

习题

习题 $3.$ 以下各组数是同号数还是异号数？在表格正确的空格中打勾。^{[解答 5]}

题号	题目	同号数	异号数
(1)	$-5$ 、 ${\frac {1}{5}}$
(2)	$-1.2$ 、 $-2{\frac {7}{9}}$
(3)	$1{\frac {10}{11}}$ 、 $10{\frac {1}{11}}$

数线

如下图 $1$ ，这是一支摄氏温度计。将这支温度计倾倒如图 $2$ ，我们可以将上头的刻度画在一条线上(如图 $3$ )。

图 $1$ 温度计	图 $2$ 倾倒的温度计	图 $3$ 将图 $2$ 的刻度画在一条线上

像图 $3$ 这样的图形我们就称为数线。

数线具有三大要素：^{[注 3]}

数线：数线上代表 $0$ 的位置，时常使用英文字母 $O$ 表示。
正向：数线上数字愈来愈大的方向，一般来说会在数线的右方。^{[注 4]}
- 正数都在原点 $O$ 的右边，负数都在原点 $O$ 的左边。
- 在数线上，愈右边的数字愈大；愈左边的数字愈小。
单位长：数线上每个格子代表的长度。例如在图 $3$ $3$ 中，每格单位长为 $10$ $10$ 单位。
- 单位长的长度没有限制。你可以每格为 $1$ 公分，也可以每格 $3$ 公分，甚至可以每格 $0.7$ 公分。
- 单位长代表的长度没有限制。你可以每 $1$ 格代表 $1$ 单位，也可以每 $1$ 格代表 $3$ 单位，甚至可以每 $1$ 格代表 $0.7$ 单位。

数线上的点

数线上的每一个点都代表一个数，若数线上的点^{[注 5]} $A$ 所代表的数字为 $a$ ^{[注 6]}，则 $A$ 点坐标为 $a$ ，记作 ${\color {red}A(a)}$ 。如下图 $4$ ， $A$ 点坐标为 $5$ ，记作 $A(5)$ ； $B$ 点坐标为 $-3$ ，记作 $B(-3)$ 。

图

4

数线上的分数点

数线上也可以表示代表分数的点。如在下图 $5$ 中，

$C$ 点介于 $3$ 与 $4$ 之间 $5$ 等分中从左而右数来^{[注 7]}第 $2$ 格线上，所以 $C$ 点代表 $3{\frac {2}{5}}$ ，可以记作 $C(3{\frac {2}{5}})$ 。
$D$ 点介于 $-1$ 与 $-2$ 之间 $3$ 等分中从右而左数来^{[注 8]}第 $2$ 格线上，所以 $D$ 点代表 $-1{\frac {2}{3}}$ ，可以记作 $D(-1{\frac {2}{3}})$ 。

图

5

数线上的小数点

数线上也可以表示代表小数的点。如在下图 $6$ 中，

$E$ 点介于 $1$ 与 $2$ 之间 $10$ 等分中从左而右数来第 $4$ 格线上，所以 $E$ 代表 $1.4$ ，可以记作 $E(1.4)$ 。
$F$ 点介于 $-1$ 与 $-2$ 之间 $10$ 等分中从右而左数来第 $7$ 格线上，所以 $F$ 点代表 $-1.7$ ，可以记作 $F(-1.7)$ 。

图

6

标示数线上的点

整数点：从原点 $0$ $0$ 出发，
- 画正整数就从左往右数相同数字的格子数。
  - 如图 $7$ ，要在数线上画出 $3$ ，从原点 $0$ 出发从左而右数 $3$ 个格子，到达 $A$ 点， $A$ 点即代表 $3$ 的点。
- 画负整数就从右往左数相同数字的格子数。如图 $7$ $7$ 中代表 $-3$ $-3$ 的点为 $B$ $B$ 点。
  - 如图 $7$ ，要在数线上画出 $-3$ ，从原点 $0$ 出发从右而左数 $3$ 个格子，到达 $B$ 点， $B$ 点即代表 $-3$ 的点。
  - 图 $7$
分数点：设分数为 $a{\frac {b}{c}}$ $a{\frac {b}{c}}$ ，其中 ${\frac {b}{c}}$ ${\frac {b}{c}}$ 为最简分数，
- 画正分数：在 $a$ $a$ 与 $a+1$ $a+1$ 之间分成 $c$ $c$ 格，从左而右数第 $b$ $b$ 个格线。
  - 如图 $8$ ，要在数线上画出 $2{\frac {1}{3}}$ ，先在 $2$ 与 $3$ 之间分成 $3$ 格，从左而右数来第 $1$ 个格线就是 $2{\frac {1}{3}}$ 。(图 $8$ 中的 $C$ 点)
- 画负分数：在 $a$ $a$ 与 $a$ $a$ 左边一格之间分成 $c$ $c$ 格，从右而左数第 $b$ $b$ 个格线。
  - 如图 $8$ ，要在数线上画出 $-2{\frac {1}{3}}$ ，先在 $-2$ 与 $-3$ 之间分成 $3$ 格，从右而左数来第 $1$ 个格线就是 $-2{\frac {1}{3}}$ 。(图 $8$ 中的 $D$ 点)
  - 图 $8$
小数点：将小数化为最简分数，再利用画分数的方法画出。
- 画正小数：如图 $9$ ，要在数线上画出 $2.3$ ，先将 $2.3$ 化成分数 $2{\frac {3}{10}}$ ，再将 $2$ 与 $3$ 之间分成 $10$ 格，从左而右数来第 $3$ 个格线就是 $2{\frac {3}{10}}$ ，也就是 $2.3$ 。(图 $9$ 中的 $E$ 点)
- 画负小数：如图 $9$ $9$ ，要在数线上画出 $-2.3$ $-2.3$ ，先将 $-2.3$ $-2.3$ 化成分数 $-2{\frac {3}{10}}$ $-2{\frac {3}{10}}$ ，再将 $-2$ $-2$ 与 $-3$ $-3$ 之间分成 $10$ $10$ 格，从右而左数来第 $3$ $3$ 个格线就是 $-2{\frac {3}{10}}$ $-2{\frac {3}{10}}$ ，也就是 $-2.3$ $-2.3$ 。(图 $9$ $9$ 中的 $F$ $F$ 点)
  - 图 $9$

比大小

在数线上，

愈往数线右方的数愈大，愈往数线左方的数愈小。
负数 $<0<$ 正数。

例题

2

比较

-5

与

-7

的大小关系。

解

如图 $10$ ，在数线上 $-5$ 比 $-7$ 右边，所以 $-5>-7$ 。

习题

习题 $4.$ 比较以下各组数的大小，在表格填入 $>$ 、 $<$ 或 $=$ 。^{[解答 6]}

题号	数字 $1$	数字 $2$
$(1)$	$-13$	$-15$
$(2)$	$-2{\frac {7}{19}}$	$1{\frac {7}{29}}$
$(3)$	$-0.93$	$-1.04$

三一律

设 $a$ 、 $b$ 为任意两个数，则 $a>b$ 、 $a<b$ 与 $a=b$ 三个之中必有一个，而且只有一个会成立。

递移律

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为任意三个数，而且若 $a>b$ 且 $b>c$ ，则 $a>c$ 。
同样的，若 $a<b$ 且 $b<c$ ，则 $a<c$ ；若 $a=b$ 且 $b=c$ ，则 $a=c$ 。

例题

3

比较

5

、

-6

、

3

与

-2

的大小关系。

解

因为

5

和

3

为正数，

-6

和

-2

为负数，所以

5

与

3

同时比

-6

与

-2

大，

又因为 $5>3>0$ ， $0>-2>-6$ ，所以 $5>3>-2>-6$ 。

相反数

参见：相反数

某国中举办班际篮球赛，七年一班与七年二班对战，最后的结果为七年一班赢七年二班 $5$ 分。若我们将赢球记作正分，输球记作负分，则对于七年一班来说，他们班与七年二班对战的结果我们可以记作“ $+5$ 分”，至于对于七年二班来说，他们与七年一班对战的结果我们可以记作“ $-5$ 分”。
气温高于 $0$ ℃ $14$ 度，我们记作“ $+14$ ℃”；低于 $0$ ℃ $14$ 度，我们记作“ $-14$ ℃”。

我们常常在生活上看到这样的例子，虽然两者的数据是相同的，但是因为性质符号不同的关系所以两者并不相同，这样的两个数我们互称为“相反数”。如 $5$ 的相反数为 $-5$ ， $-14$ 的相反数为 $14$ 。
特别的，我们定义 $0$ 的相反数为 $0$ 。

习题

习题 $5.$ 以下各数的相反数为何？^{[解答 7]}

题号	题目	相反数
$(1)$	$0$
$(2)$	$12$
$(3)$	$2{\frac {3}{8}}$
$(4)$	$-0.97$

问题与讨论

$7$ 的相反数和 $11$ 的相反数何者比较大？^{[问题 1]}
$-7$ 的相反数和 $-11$ 的相反数何者比较大？^{[问题 2]}
若 $a$ 、 $b$ 都是正数而且 $a>b$ ，则 $a$ 的相反数与 $b$ 的相反数何者比较大？^{[问题 3]}
若 $a$ 、 $b$ 都是负数而且 $a>b$ ，则 $a$ 的相反数与 $b$ 的相反数何者比较大？^{[问题 4]}

相反数的记号

若 $a$ 为一个数，则 $a$ 的相反数我们记作 ${\color {red}-a}$ 。
如 $5$ 的相反数我们记作 $-5$ ， $-14$ 的相反数我们记作 $-(-14)=14$ 。

问题与讨论

若 $a$ 为一个不为 $0$ 的数，则 $-a$ 是正数还是负数？^{[问题 5]}

绝对值

参见：绝对值
在刚刚的例子中，

七年一班赢七年二班 $5$ 分。
温度与 $0$ ℃相差 $14$ ℃。

我们只是想要表达一个数与基准量的差异，可以用什么符号表示呢？
答案是绝对值。
一个数的绝对值指的是这个数在数线上表示的点与原点的距离。如图 $11$ 所示，数线上表示 $3$ 的点与原点相距 $3$ 单位长，我们就说 $3$ 的绝对值为 $3$ ；数线上表示 $-3$ 的点与原点相距 $3$ 单位长，我们就说 $-3$ 的绝对值为 $3$ 。

图

11

3

与

-3

与原点的距离都是

3

，所以绝对值都是

3

。

绝对值的符号

设 $a$ 是一个数，则 $a$ 的绝对值我们记作 ${\color {red}|a|}$ 。如 $3$ 的绝对值为 $3$ ，我们记作 $|3|=3$ ； $-3$ 的绝对值为 $3$ ，我们记作 $|-3|=3$ 。
特别的，我们定义 $|0|=0$ 。

习题

习题 $6.$ 写出以下各数的值。^{[解答 8]}

题号	题目	答案
$(1)$	$\|-12\|$
$(2)$	$\|{\frac {11}{5}}\|$
$(3)$	$\|-7.345\|$

问题与讨论

若 $a$ 是非 $0$ 的数，则 $|a|$ 是正数还是负数？^{[问题 6]}
若 $a$ 、 $b$ 是两个数而且 $a>b$ ，则 $|a|$ 和 $|b|$ 何者比较大？^{[问题 7]}
若 $a$ 、 $b$ 都是正数而且 $a>b$ ，则 $|a|$ 和 $|b|$ 何者比较大？^{[问题 8]}
若 $a$ 、 $b$ 都是负数而且 $a>b$ ，则 $|a|$ 和 $|b|$ 何者比较大？^{[问题 9]}

绝对值与相反数的关系

两个相异的数 $a$ 、 $b$ 互为相反数，则 $|a|=|b|$ 。
两个相异的数 $a$ 、 $b$ 满足 $|a|=|b|$ ，则 $a$ 的相反数是 $b$ ， $b$ 的相反数是 $a$ 。
正数的绝对值等于自己本身。即若 $a$ 是正数，则 $|a|=a$ 。
负数的绝对值等于负数的相反数。即若 $a$ 是负数，则 $|a|=-a$ 。
$0$ 的绝对值等于 $0$ 本身，也等于 $0$ 的相反数。
若 $|a|=0$ ，则 $a=0$ 。
若 $|a|+|b|=0$ ，则 $a=b=0$ 。

课后总习题

基础题

赚钱与亏钱是相对的。小芳经营一家小吃摊，上个月亏本 $1500$ 元，小芳记作 $-1500$ 元，那这个月赚 $3500$ 元，小芳应该记作几元？
在数线上想要标示 $-{\frac {4}{9}}$ ，至少要在数线的 $-1$ 与 $0$ 之间分割成几格？
比较 $6$ 、 $-2{\frac {3}{5}}$ 与 $-1.74$ 的大小。
写出以下各数的相反数：
- $(1)-17$
- $(2)3{\frac {2}{7}}$
写出以下各数的绝对值：
- $(1)|23|$
- $(2)|-3{\frac {5}{6}}|$
比较 $|-6|$ 、 $-|2|$ 与 $-5$ 的大小。
画出一条数线，并且标示出 $A(-2)$ 、 $B(1.4)$ 与 $C(-3{\frac {1}{2}})$ 三个点。

进阶题

以中午 $12$ 时为基准，下午 $3$ 时记作 $+6$ 时，那么上午 $8$ 时要记作几时？
在数线上想要标示 $-0.75$ ，至少要在数线的 $-1$ 与 $0$ 之间分割成几格？
若甲数为整数而且甲数的绝对值小于 $15$ ，则满足条件的甲数有几个？
$-(-(-9))=$ ？
若 $a=|-6|$ ，则 $a$ 的相反数是多少？
已知 $a$ 是整数而且 $|-2{\frac {2}{3}}|<|a|<|5{\frac {5}{8}}|$ ，则这样的 $a$ 总共有几个？

注解

↑ 也称作“调和数”。
↑ $0$ 既不是正数也不是负数。
↑ 数线三大要素缺一不可。
↑ 如果本书没有特别说明，数线的正向都在右边。
↑ 数学上，“点”只代表位置，本身不具有任何的大小。
↑ $a$ 代表随意的数字，它可以是正数(如 ${\frac {355}{113}}$ )，也可以是负数(如 $-1.23456$ )，更可以是 $0$ ；它可以是整数(如 $5$ )，也可以是分数(如 ${\frac {1}{13}}$ )，更可以是小数(如 $0.777$ )。
↑ 数线上代表正数的点是从左而右数，只要看 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、……的顺序方向你就知道为什么了。
↑ 数线上代表负数的点是从右而左数，只要看 $-1$ 、 $-2$ 、 $-3$ 、……的顺序方向你就知道为什么了。