國中數學/國中數學七年級/1-1 正數與負數
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以下是維基百科上對於北極的氣候介紹:
北極冬天(1月)的氣溫從℃(℉)到℃(℉),平均約在℃(℉)。夏天(6至8月)的溫度平均會在冰點,有紀錄以來的最高溫為℃(℉),比南極的最高溫℃(℉)要高很多。
在這個文章出現了相當多以前沒看過的數字,如、、、、……等等,其實這些數字代表比0小多少的意思。在底下我們將介紹這樣的數字。
認識負數
[編輯]生活上有許多相對的量。如收入與支出、賺錢與賠錢、高於與低於、東方與西方、贏與輸……等等。在數學上,我們可以用符號「」與「」來代表這些代表「相反」或「相對」的量,如今天早上媽媽給雨婷元當作零用錢,雨婷的錢增加了元,可以紀錄為元;而雨婷花了元買早餐,所以雨婷的錢減少了元,可以紀錄為元。
在上數學課的時候,雨婷舉手回答老師的問題,老師以加學期總成績分作為獎勵,老師可以在紀錄表上用來記錄;敏翔在上課玩手機,老師以扣學期總成績分與沒收手機作為懲罰,老師可以在紀錄表上用來記錄。
冬天的氣溫在緯度比較高的地方常常會出現低於攝氏度的低溫,如今天新聞提到中國的城市哈爾濱的氣溫為℃,這表示哈爾濱今天的氣溫比℃還要低℃;在前言提到北極的冬天平均氣溫約在℃左右,這就表示北極的冬天平均氣溫大約比℃還要低℃。
例題
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解 因為高於海平面公尺我們記作,
所以高於海平面為正,低於海平面為負。 |
習題
[編輯]習題東方與西方是相對的量。若怡安往東方走公尺,我們記作公尺,則:
梓欣往西方走公尺,我們記作什麼?[解答 1]
孟珍走了公尺,這代表孟珍往什麼方向走了幾公尺?[解答 2]
習題偉展的身高為公分。以偉展的身高為基準,俊鑫的身高比偉展高公分,我們記作公分,則:
雅綺比偉展矮公分,我們記作什麼?[解答 3]
志民的身高為公分,我們記作什麼?[解答 4]
性質符號與運算符號
[編輯]若「」、「」是用來表示數字的正負性,則我們稱這兩個符號為性質符號。如在例題的的「」、的「」;
若「」、「」是用來表示算式的加減法,則我們稱這兩個符號為運算符號。如的「」、的「」。
比較項目 | 性質符號 | 運算符號 |
---|---|---|
性質符號為「」的數我們稱作正數;性質符號為「」的數我們稱作負數,這兩種數合稱為有號數;而「」沒有任何性質符號,我們稱為中性數[註 1][註 2]。
另外,所有的正數都大於;所有的負數都小於。
在正數當中,像、、、……這樣的數我們稱為正整數;在負數當中,像、、、……這樣的數我們稱為負整數。而正整數、負整數與合稱為整數。
同號數與異號數
[編輯]兩個數如果同時為正數或同時為負數(性質符號相同),則我們稱這兩個數為同號數。如與;
兩個數如果一個是正數且一個是負數(性質符號相異),則我們稱這兩個數為異號數。如與。
習題
[編輯]習題以下各組數是同號數還是異號數?在表格正確的空格中打勾。[解答 5]
題號 | 題目 | 同號數 | 異號數 |
---|---|---|---|
數線
[編輯]如下圖,這是一支攝氏溫度計。將這支溫度計傾倒如圖,我們可以將上頭的刻度畫在一條線上(如圖)。
像圖這樣的圖形我們就稱為數線。
數線具有三大要素:[註 3]
- 數線:數線上代表的位置,時常使用英文字母表示。
- 正向:數線上數字愈來愈大的方向,一般來說會在數線的右方。[註 4]
- 正數都在原點的右邊,負數都在原點的左邊。
- 在數線上,愈右邊的數字愈大;愈左邊的數字愈小。
- 單位長:數線上每個格子代表的長度。例如在圖中,每格單位長為單位。
- 單位長的長度沒有限制。你可以每格為公分,也可以每格公分,甚至可以每格公分。
- 單位長代表的長度沒有限制。你可以每格代表單位,也可以每格代表單位,甚至可以每格代表單位。
數線上的點
[編輯]數線上的每一個點都代表一個數,若數線上的點[註 5]所代表的數字為[註 6],則點坐標為,記作。 如下圖,點坐標為,記作;點坐標為,記作。
數線上的分數點
[編輯]數線上也可以表示代表分數的點。如在下圖中,
數線上的小數點
[編輯]數線上也可以表示代表小數的點。如在下圖中,
- 點介於與之間等分中從左而右數來第格線上,所以代表,可以記作。
- 點介於與之間等分中從右而左數來第格線上,所以點代表,可以記作。
標示數線上的點
[編輯]- 整數點:從原點出發,
- 畫正整數就從左往右數相同數字的格子數。
- 如圖,要在數線上畫出,從原點出發從左而右數個格子,到達點,點即代表的點。
- 畫負整數就從右往左數相同數字的格子數。如圖中代表的點為點。
- 如圖,要在數線上畫出,從原點出發從右而左數個格子,到達點,點即代表的點。
- 畫正整數就從左往右數相同數字的格子數。
- 分數點:設分數為,其中為最簡分數,
- 畫正分數:在與之間分成格,從左而右數第個格線。
- 如圖,要在數線上畫出,先在與之間分成格,從左而右數來第個格線就是。(圖中的點)
- 畫負分數:在與左邊一格之間分成格,從右而左數第個格線。
- 如圖,要在數線上畫出,先在與之間分成格,從右而左數來第個格線就是。(圖中的點)
- 畫正分數:在與之間分成格,從左而右數第個格線。
- 小數點:將小數化為最簡分數,再利用畫分數的方法畫出。
- 畫正小數:如圖,要在數線上畫出,先將化成分數,再將與之間分成格,從左而右數來第個格線就是,也就是。(圖中的點)
- 畫負小數:如圖,要在數線上畫出,先將化成分數,再將與之間分成格,從右而左數來第個格線就是,也就是。(圖中的點)
比大小
[編輯]在數線上,
- 愈往數線右方的數愈大,愈往數線左方的數愈小。
- 負數正數。
例題 比較與的大小關係。
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解 如圖,在數線上比右邊,所以。
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習題
[編輯]習題比較以下各組數的大小,在表格填入、或。[解答 6]
題號 | 數字 | 答案 | 數字 |
---|---|---|---|
三一律
[編輯]設、為任意兩個數,則、與三個之中必有一個,而且只有一個會成立。
遞移律
[編輯]設、、為任意三個數,而且若且,則。
同樣的,若且,則;若且,則。
例題 比較、、與的大小關係。
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解 因為和為正數,和為負數,所以與同時比與大,
又因為,, 所以。 |
相反數
[編輯]參見:相反數
- 某國中舉辦班際籃球賽,七年一班與七年二班對戰,最後的結果為七年一班贏七年二班分。若我們將贏球記作正分,輸球記作負分,則對於七年一班來說,他們班與七年二班對戰的結果我們可以記作「分」,至於對於七年二班來說,他們與七年一班對戰的結果我們可以記作「分」。
- 氣溫高於℃度,我們記作「℃」;低於℃度,我們記作「℃」。
我們常常在生活上看到這樣的例子,雖然兩者的數據是相同的,但是因為性質符號不同的關係所以兩者並不相同,這樣的兩個數我們互稱為「相反數」。如
的相反數為,的相反數為。
特別的,我們定義的相反數為。
習題
[編輯]習題以下各數的相反數為何?[解答 7]
題號 | 題目 | 相反數 |
---|---|---|
問題與討論
[編輯]- 的相反數和的相反數何者比較大?[問題 1]
- 的相反數和的相反數何者比較大?[問題 2]
- 若、都是正數而且,則的相反數與的相反數何者比較大?[問題 3]
- 若、都是負數而且,則的相反數與的相反數何者比較大?[問題 4]
相反數的記號
[編輯]若為一個數,則的相反數我們記作。
如的相反數我們記作,的相反數我們記作。
問題與討論
[編輯]若為一個不為的數,則是正數還是負數?[問題 5]
絕對值
[編輯]參見:絕對值
在剛剛的例子中,
- 七年一班贏七年二班分。
- 溫度與℃相差℃。
我們只是想要表達一個數與基準量的差異,可以用什麼符號表示呢?
答案是絕對值。
一個數的絕對值指的是這個數在數線上表示的點與原點的距離。如圖所示,數線上表示的點與原點相距單位長,我們就說的絕對值為;數線上表示的點與原點相距單位長,我們就說的絕對值為。
絕對值的符號
[編輯]設是一個數,則的絕對值我們記作。
如的絕對值為,我們記作;的絕對值為,我們記作。
特別的,我們定義。
習題
[編輯]習題寫出以下各數的值。[解答 8]
題號 | 題目 | 答案 |
---|---|---|
問題與討論
[編輯]絕對值與相反數的關係
[編輯]- 兩個相異的數、互為相反數,則。
- 兩個相異的數、滿足,則的相反數是,的相反數是。
- 正數的絕對值等於自己本身。即若是正數,則。
- 負數的絕對值等於負數的相反數。即若是負數,則。
- 的絕對值等於本身,也等於的相反數。
- 若,則。
- 若,則。
課後總習題
[編輯]基礎題
[編輯]- 賺錢與虧錢是相對的。小芳經營一家小吃攤,上個月虧本元,小芳記作元,那這個月賺元,小芳應該記作幾元?
- 在數線上想要標示,至少要在數線的與之間分割成幾格?
- 比較、與的大小。
- 寫出以下各數的相反數:
- 寫出以下各數的絕對值:
- 比較、與的大小。
- 畫出一條數線,並且標示出、與三個點。
進階題
[編輯]- 以中午時為基準,下午時記作時,那麼上午時要記作幾時?
- 在數線上想要標示,至少要在數線的與之間分割成幾格?
- 若甲數為整數而且甲數的絕對值小於,則滿足條件的甲數有幾個?
- ?
- 若,則的相反數是多少?
- 已知是整數而且,則這樣的總共有幾個?
註解
[編輯]- ↑ 也稱作「調和數」。
- ↑ 既不是正數也不是負數。
- ↑ 數線三大要素缺一不可。
- ↑ 如果本書沒有特別說明,數線的正向都在右邊。
- ↑ 數學上,「點」只代表位置,本身不具有任何的大小。
- ↑ 代表隨意的數字,它可以是正數(如),也可以是負數(如),更可以是;它可以是整數(如),也可以是分數(如),更可以是小數(如)。
- ↑ 數線上代表正數的點是從左而右數,只要看、、、……的順序方向你就知道為什麼了。
- ↑ 數線上代表負數的點是從右而左數,只要看、、、……的順序方向你就知道為什麼了。
習題解答
[編輯]- ↑ 習題公尺
- ↑ 習題往西方走公尺
- ↑ 習題公分
- ↑ 習題公分
- ↑ 習題
題號 題目 同號數 異號數 (1) 、 ✔ (2) 、 ✔ (3) 、 ✔ - ↑ 習題
題號 數字 答案 數字 - ↑ 習題
題號 題目 相反數 - ↑ 習題
題號 題目 答案