国中数学/国中数学七年级/1-1 正数与负数
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以下是维基百科上对于北极的气候介绍:
北极冬天(1月)的气温从℃(℉)到℃(℉),平均约在℃(℉)。夏天(6至8月)的温度平均会在冰点,有纪录以来的最高温为℃(℉),比南极的最高温℃(℉)要高很多。
在这个文章出现了相当多以前没看过的数字,如、、、、……等等,其实这些数字代表比0小多少的意思。在底下我们将介绍这样的数字。
认识负数
[编辑]生活上有许多相对的量。如收入与支出、赚钱与赔钱、高于与低于、东方与西方、赢与输……等等。在数学上,我们可以用符号“”与“”来代表这些代表“相反”或“相对”的量,如今天早上妈妈给雨婷元当作零用钱,雨婷的钱增加了元,可以纪录为元;而雨婷花了元买早餐,所以雨婷的钱减少了元,可以纪录为元。
在上数学课的时候,雨婷举手回答老师的问题,老师以加学期总成绩分作为奖励,老师可以在纪录表上用来记录;敏翔在上课玩手机,老师以扣学期总成绩分与没收手机作为惩罚,老师可以在纪录表上用来记录。
冬天的气温在纬度比较高的地方常常会出现低于摄氏度的低温,如今天新闻提到中国的城市哈尔滨的气温为℃,这表示哈尔滨今天的气温比℃还要低℃;在前言提到北极的冬天平均气温约在℃左右,这就表示北极的冬天平均气温大约比℃还要低℃。
例题
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解 因为高于海平面米我们记作,
所以高于海平面为正,低于海平面为负。 |
习题
[编辑]习题东方与西方是相对的量。若怡安往东方走米,我们记作米,则:
梓欣往西方走米,我们记作什么?[解答 1]
孟珍走了米,这代表孟珍往什么方向走了几米?[解答 2]
习题伟展的身高为厘米。以伟展的身高为基准,俊鑫的身高比伟展高厘米,我们记作厘米,则:
雅绮比伟展矮厘米,我们记作什么?[解答 3]
志民的身高为厘米,我们记作什么?[解答 4]
性质符号与运算符号
[编辑]若“”、“”是用来表示数字的正负性,则我们称这两个符号为性质符号。如在例题的的“”、的“”;
若“”、“”是用来表示算式的加减法,则我们称这两个符号为运算符号。如的“”、的“”。
比较项目 | 性质符号 | 运算符号 |
---|---|---|
性质符号为“”的数我们称作正数;性质符号为“”的数我们称作负数,这两种数合称为有号数;而“”没有任何性质符号,我们称为中性数[注 1][注 2]。
另外,所有的正数都大于;所有的负数都小于。
在正数当中,像、、、……这样的数我们称为正整数;在负数当中,像、、、……这样的数我们称为负整数。而正整数、负整数与合称为整数。
同号数与异号数
[编辑]两个数如果同时为正数或同时为负数(性质符号相同),则我们称这两个数为同号数。如与;
两个数如果一个是正数且一个是负数(性质符号相异),则我们称这两个数为异号数。如与。
习题
[编辑]习题以下各组数是同号数还是异号数?在表格正确的空格中打勾。[解答 5]
题号 | 题目 | 同号数 | 异号数 |
---|---|---|---|
数线
[编辑]如下图,这是一支摄氏温度计。将这支温度计倾倒如图,我们可以将上头的刻度画在一条线上(如图)。
像图这样的图形我们就称为数线。
数线具有三大要素:[注 3]
- 数线:数线上代表的位置,时常使用英文字母表示。
- 正向:数线上数字愈来愈大的方向,一般来说会在数线的右方。[注 4]
- 正数都在原点的右边,负数都在原点的左边。
- 在数线上,愈右边的数字愈大;愈左边的数字愈小。
- 单位长:数线上每个格子代表的长度。例如在图中,每格单位长为单位。
- 单位长的长度没有限制。你可以每格为厘米,也可以每格厘米,甚至可以每格厘米。
- 单位长代表的长度没有限制。你可以每格代表单位,也可以每格代表单位,甚至可以每格代表单位。
数线上的点
[编辑]数线上的每一个点都代表一个数,若数线上的点[注 5]所代表的数字为[注 6],则点坐标为,记作。 如下图,点坐标为,记作;点坐标为,记作。
数线上的分数点
[编辑]数线上也可以表示代表分数的点。如在下图中,
数线上的小数点
[编辑]数线上也可以表示代表小数的点。如在下图中,
- 点介于与之间等分中从左而右数来第格线上,所以代表,可以记作。
- 点介于与之间等分中从右而左数来第格线上,所以点代表,可以记作。
标示数线上的点
[编辑]- 整数点:从原点出发,
- 画正整数就从左往右数相同数字的格子数。
- 如图,要在数线上画出,从原点出发从左而右数个格子,到达点,点即代表的点。
- 画负整数就从右往左数相同数字的格子数。如图中代表的点为点。
- 如图,要在数线上画出,从原点出发从右而左数个格子,到达点,点即代表的点。
- 画正整数就从左往右数相同数字的格子数。
- 分数点:设分数为,其中为最简分数,
- 画正分数:在与之间分成格,从左而右数第个格线。
- 如图,要在数线上画出,先在与之间分成格,从左而右数来第个格线就是。(图中的点)
- 画负分数:在与左边一格之间分成格,从右而左数第个格线。
- 如图,要在数线上画出,先在与之间分成格,从右而左数来第个格线就是。(图中的点)
- 画正分数:在与之间分成格,从左而右数第个格线。
- 小数点:将小数化为最简分数,再利用画分数的方法画出。
- 画正小数:如图,要在数线上画出,先将化成分数,再将与之间分成格,从左而右数来第个格线就是,也就是。(图中的点)
- 画负小数:如图,要在数线上画出,先将化成分数,再将与之间分成格,从右而左数来第个格线就是,也就是。(图中的点)
比大小
[编辑]在数线上,
- 愈往数线右方的数愈大,愈往数线左方的数愈小。
- 负数正数。
例题 比较与的大小关系。
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解 如图,在数线上比右边,所以。
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习题
[编辑]习题比较以下各组数的大小,在表格填入、或。[解答 6]
题号 | 数字 | 答案 | 数字 |
---|---|---|---|
三一律
[编辑]设、为任意两个数,则、与三个之中必有一个,而且只有一个会成立。
递移律
[编辑]设、、为任意三个数,而且若且,则。
同样的,若且,则;若且,则。
例题 比较、、与的大小关系。
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解 因为和为正数,和为负数,所以与同时比与大,
又因为,, 所以。 |
相反数
[编辑]参见:相反数
- 某国中举办班际篮球赛,七年一班与七年二班对战,最后的结果为七年一班赢七年二班分。若我们将赢球记作正分,输球记作负分,则对于七年一班来说,他们班与七年二班对战的结果我们可以记作“分”,至于对于七年二班来说,他们与七年一班对战的结果我们可以记作“分”。
- 气温高于℃度,我们记作“℃”;低于℃度,我们记作“℃”。
我们常常在生活上看到这样的例子,虽然两者的数据是相同的,但是因为性质符号不同的关系所以两者并不相同,这样的两个数我们互称为“相反数”。如
的相反数为,的相反数为。
特别的,我们定义的相反数为。
习题
[编辑]习题以下各数的相反数为何?[解答 7]
题号 | 题目 | 相反数 |
---|---|---|
问题与讨论
[编辑]- 的相反数和的相反数何者比较大?[问题 1]
- 的相反数和的相反数何者比较大?[问题 2]
- 若、都是正数而且,则的相反数与的相反数何者比较大?[问题 3]
- 若、都是负数而且,则的相反数与的相反数何者比较大?[问题 4]
相反数的记号
[编辑]若为一个数,则的相反数我们记作。
如的相反数我们记作,的相反数我们记作。
问题与讨论
[编辑]若为一个不为的数,则是正数还是负数?[问题 5]
绝对值
[编辑]参见:绝对值
在刚刚的例子中,
- 七年一班赢七年二班分。
- 温度与℃相差℃。
我们只是想要表达一个数与基准量的差异,可以用什么符号表示呢?
答案是绝对值。
一个数的绝对值指的是这个数在数线上表示的点与原点的距离。如图所示,数线上表示的点与原点相距单位长,我们就说的绝对值为;数线上表示的点与原点相距单位长,我们就说的绝对值为。
绝对值的符号
[编辑]设是一个数,则的绝对值我们记作。
如的绝对值为,我们记作;的绝对值为,我们记作。
特别的,我们定义。
习题
[编辑]习题写出以下各数的值。[解答 8]
题号 | 题目 | 答案 |
---|---|---|
问题与讨论
[编辑]绝对值与相反数的关系
[编辑]- 两个相异的数、互为相反数,则。
- 两个相异的数、满足,则的相反数是,的相反数是。
- 正数的绝对值等于自己本身。即若是正数,则。
- 负数的绝对值等于负数的相反数。即若是负数,则。
- 的绝对值等于本身,也等于的相反数。
- 若,则。
- 若,则。
课后总习题
[编辑]基础题
[编辑]- 赚钱与亏钱是相对的。小芳经营一家小吃摊,上个月亏本元,小芳记作元,那这个月赚元,小芳应该记作几元?
- 在数线上想要标示,至少要在数线的与之间分割成几格?
- 比较、与的大小。
- 写出以下各数的相反数:
- 写出以下各数的绝对值:
- 比较、与的大小。
- 画出一条数线,并且标示出、与三个点。
进阶题
[编辑]- 以中午时为基准,下午时记作时,那么上午时要记作几时?
- 在数线上想要标示,至少要在数线的与之间分割成几格?
- 若甲数为整数而且甲数的绝对值小于,则满足条件的甲数有几个?
- ?
- 若,则的相反数是多少?
- 已知是整数而且,则这样的总共有几个?
注解
[编辑]- ↑ 也称作“调和数”。
- ↑ 既不是正数也不是负数。
- ↑ 数线三大要素缺一不可。
- ↑ 如果本书没有特别说明,数线的正向都在右边。
- ↑ 数学上,“点”只代表位置,本身不具有任何的大小。
- ↑ 代表随意的数字,它可以是正数(如),也可以是负数(如),更可以是;它可以是整数(如),也可以是分数(如),更可以是小数(如)。
- ↑ 数线上代表正数的点是从左而右数,只要看、、、……的顺序方向你就知道为什么了。
- ↑ 数线上代表负数的点是从右而左数,只要看、、、……的顺序方向你就知道为什么了。
习题解答
[编辑]- ↑ 习题米
- ↑ 习题往西方走米
- ↑ 习题厘米
- ↑ 习题厘米
- ↑ 习题
题号 题目 同号数 异号数 (1) 、 ✔ (2) 、 ✔ (3) 、 ✔ - ↑ 习题
题号 数字 答案 数字 - ↑ 习题
题号 题目 相反数 - ↑ 习题
题号 题目 答案