國中數學/國中數學七年級/2-1 質因數分解

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 1-4 指數記法與科學記號 國中數學七年級
2-1 質因數分解
2-2 最大公因數與最小公倍數 

本章節將介紹關於分數的運算,不過在此之前,我們首先將介紹質因數分解的概念,然後進入最大公因數與最小公倍數,最後才進行分數運算。

因數與倍數[编辑]

在國小學過,如果甲數、乙數與丙數都是整數,而且甲數乙數丙數,則我們稱乙數為甲數的因數,甲數為乙數的倍數。又因為當甲數不是的時候,甲數乙數丙數也代表甲數丙數乙數,所以丙數也是甲數的因數,甲數也是丙數的倍數。

  • 例如都是的因數,的倍數,也是的倍數。
  • 簡單來說,滿足除法關係的三個整數中,最大的數較小數倍數。反之,比較小的兩個數最大數因數
  • 因數的英文為factor,倍數的英文為multiple。

這樣的定義可以延伸到負整數上,即如果為三個任意整數(無論正負)而且滿足,則的倍數,的因數 。但由於也代表著,故若的因數時,也為的因數,所以在國中的課程當中,如果沒有特別說明,「因數」都是指「正因數」。同理,「倍數」都是指「正倍數」。

    • 都是的因數,的倍數,也是的倍數。
    • 同理都是的因數,的倍數,也是的倍數。
  • 很顯然的,的位置不能擺,所以不會是任何整數的因數。
  • 因為,所以是任何整數的因數。
  • 因為,所以是任何非整數的倍數。
  • 因為,所以當不是時,的因數,也是的倍數。
  • 因為代表,所以有人也會用乘法的方式說明倍數與因數的關係。

要判斷是否有因數與倍數的關係,我們只需要使用除法即可。

例題
請問是不是的倍數?

請問是不是的因數?

計算,故的倍數。

計算,故不是的因數。

習題
判斷二數是不是的倍數。[習題解答 1]
判斷是不是的因數。[習題解答 2]

質數與合數[编辑]

我們知道任意一個整數,它都至少有兩個因數:和它自己本身。

  1. 如果除此之外沒有其他因數了,那麼我們稱為質數[註 1](prime)[註 2]
    • 例如的因數只有,所以是一個質數。
    • 以下列出以內的個質數:,質數當中只有一個偶數,因為除了以外,其他偶數都有額外多一個這個因數。質數當中末位數字是的也只有一個,因為除了以外,末位數字是的整數就必然會有這個額外的因數。
  2. 如果除此之外還有其他因數,那麼我們稱為合數[註 3](composite number)。
    • 例如的因數除了之外還有,所以是一個合數。
    • 常常會被誤判成質數的合數:
  3. 既不是質數也不是合數。
  4. 埃拉托斯特尼篩法[註 4]為一種找出質數的方法。
例題:民國99年第二次基測第2題
下列選項中表示的數,哪一個是質數?

質數只有兩個因數和自己本身,也就是說質數只能有一種乘法分解的形式:它自己。故錯誤。

為合數,為質數,故選

習題
下列四個數,哪一個不是質數?(96.第一次基測第7題)[習題解答 3]

質因數分解與標準分解式[编辑]

質因數[编辑]

當一個正整數既是質數,也是正整數的因數,則我們稱質因數
例如:的因數有,其中都是質數,故的質因數。
習題
請列出所有的因數。[習題解答 4]
的質因數有哪些?[習題解答 5]

質因數分解[编辑]

國小學過使用短除法將一個整數做質因數分解。而短除法的計算步驟如下:
1.如果是質數則不用做以下的事情。
2.找出正整數的質因數,並計算的結果,在周圍畫出「L」,並將質因數放置在「L」左邊,計算出來的商放置在「L」下層。

  • 做例子:
  • 的質因數有一個是,所以先用,而,所以寫法是:

3.如果上一步的結果為質數,那麼就結束;如果不是,就一直重複第1個步驟。

  • 做例子:
  • 因為不是質數所以要繼續,的質因數有一個是,所以用除,而,所以寫法是:

  • 因為不是質數所以要繼續,的質因數有一個是,所以用除,而,所以寫法是:

  • 因為不是質數所以要繼續,的質因數有一個是,所以用除,而,所以寫法是:

  • 因為是質數所以結束了。

4.將所有「L」外圍(左邊與最下面)的數字寫成連乘法就完成質因數分解

  • 為例,

標準分解式[编辑]

1-4 指數記法與科學記號單元知道相同數字連乘可以寫成指數的形式。將的質因數分解表示成質因數由小到大排列且寫成質因數次方的形式,我們稱這樣的式子為標準分解式

  • 為例,稱為的標準分解式。

倍數判別法[编辑]

在上面的說明當中,找出一個整數的質因數是相當難的事情。如的質因數是多少?或是RSA-155的質因數分解為何?
所以學習一些質數倍數的判別法就顯得相當重要。底下列出質數的質數判別法。其餘的質數判別法或是合數倍數判別法,可以參考整除規則

質數 倍數判別法 例子
末位數字為
的倍數。[註 5]
各位數字和為的倍數。
的倍數,因為的倍數。[註 6]
末位數字為
的倍數。
個位數字為第位,十位數字為第位,百位數字為第位,……,依此類推,

奇數位數字和與偶數位數字相減的結果為的倍數。
的倍數,因為奇數位數字和為,偶數位數字和為的倍數。[註 7]

註解[编辑]

  1. 質數也稱作「素數」。
  2. 質數的維基百科資料:質數:維基百科
  3. 合數就是「合成數」。
  4. 維基百科:厄拉托西尼
  5. 0是偶數嗎?
  6. 有些人會主張最後的結果要是一位數,這個結果稱為數字的數根,在這個例子的數根為。所以有另外一個說法為數根為的整數都是的倍數。
  7. 可以用大的減小的避免負數的情形。

習題解答[编辑]

  1. 是,不是。
  2. 是。