本章节将介绍关于分数的运算,不过在此之前,我们首先将介绍质因数分解的概念,然后进入最大公因数与最小公倍数,最后才进行分数运算。
在国小学过,如果甲数、乙数与丙数都是整数,而且甲数乙数丙数,则我们称乙数为甲数的因数,甲数为乙数的倍数。又因为当甲数不是的时候,甲数乙数丙数也代表甲数丙数乙数,所以丙数也是甲数的因数,甲数也是丙数的倍数。
- 例如,和都是的因数,是的倍数,也是的倍数。
- 简单来说,满足除法关系的三个整数中,最大的数为较小数的倍数。反之,比较小的两个数为最大数的因数。
- 因数的英文为factor,倍数的英文为multiple。
这样的定义可以延伸到负整数上,即如果为三个任意整数(无论正负)而且满足,则为的倍数,为的因数
。但由于也代表着,故若为的因数时,也为的因数,所以在国中的课程当中,如果没有特别说明,“因数”都是指“正因数”。同理,“倍数”都是指“正倍数”。
- 如,和都是的因数,是的倍数,也是的倍数。
- 同理,和都是的因数,是的倍数,也是的倍数。
- 很显然的,的位置不能摆,所以不会是任何整数的因数。
- 因为,所以是任何整数的因数。
- 因为,所以是任何非整数的倍数。
- 因为,所以当不是时,是的因数,也是的倍数。
- 因为代表,所以有人也会用乘法的方式说明倍数与因数的关系。
要判断是否有因数与倍数的关系,我们只需要使用除法即可。
例题 请问 是不是 的倍数?
请问是不是的因数?
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习题
判断二数是不是的倍数。[习题解答 1]
判断是不是的因数。[习题解答 2]
我们知道任意一个整数,它都至少有两个因数:和它自己本身。
- 如果除此之外没有其他因数了,那么我们称为质数[注 1](prime)[注 2]。
- 例如的因数只有和,所以是一个质数。
- 以下列出以内的个质数:,质数当中只有一个偶数,因为除了以外,其他偶数都有额外多一个这个因数。质数当中末位数字是的也只有一个,因为除了以外,末位数字是的整数就必然会有这个额外的因数。
- 如果除此之外还有其他因数,那么我们称为合数[注 3](composite number)。
- 例如的因数除了和之外还有,所以是一个合数。
- 常常会被误判成质数的合数:。
- 既不是质数也不是合数。
- 埃拉托斯特尼筛法[注 4]为一种找出质数的方法。
例题 :民国99年第二次基测第2题 下列选项中表示的数,哪一个是质数?
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解 质数只有两个因数 和自己本身,也就是说质数只能有一种乘法分解的形式: 它自己。故 错误。
为合数,为质数,故选。
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习题
下列四个数,哪一个不是质数?(96.第一次基测第7题)[习题解答 3]
当一个正整数既是质数,也是正整数的因数,则我们称为的质因数。
例如:的因数有,其中都是质数,故是的质因数。
习题
请列出所有的因数。[习题解答 4]
的质因数有哪些?[习题解答 5]
国小学过使用短除法将一个整数做质因数分解。而短除法的计算步骤如下:
1.如果是质数则不用做以下的事情。
2.找出正整数的质因数,并计算的结果,在周围画出“L”,并将质因数放置在“L”左边,计算出来的商放置在“L”下层。
- 以做例子:
- 的质因数有一个是,所以先用,而,所以写法是:
3.如果上一步的结果为质数,那么就结束;如果不是,就一直重复第2个步骤。
- 以做例子:
- 因为不是质数所以要继续,的质因数有一个是,所以用除,而,所以写法是:
- 因为不是质数所以要继续,的质因数有一个是,所以用除,而,所以写法是:
- 因为不是质数所以要继续,的质因数有一个是,所以用除,而,所以写法是:
- 因为是质数所以结束了。
4.将所有“L”外围(左边与最下面)的数字写成连乘法就完成质因数分解。
- 以为例,。
由1-4 指数记法与科学记号单元知道相同数字连乘可以写成指数的形式。将的质因数分解表示成质因数由小到大排列且写成质因数次方的形式,我们称这样的式子为的标准分解式。
- 以为例,,称为的标准分解式。
在上面的说明当中,找出一个整数的质因数是相当难的事情。如的质因数是多少?或是RSA-155的质因数分解为何?
所以学习一些质数倍数的判别法就显得相当重要。底下列出质数的质数判别法。其余的质数判别法或是合数倍数判别法,可以参考整除规则。
质数
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倍数判别法
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例子
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末位数字为。
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是的倍数。[注 5]
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各位数字和为的倍数。
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是的倍数,因为,是的倍数。[注 6]
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末位数字为。
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是的倍数。
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个位数字为第位,十位数字为第位,百位数字为第位,……,依此类推,
奇数位数字和与偶数位数字相减的结果为或的倍数。
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是的倍数,因为奇数位数字和为,偶数位数字和为,为的倍数。[注 7]
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- ↑ 质数也称作“素数”。
- ↑ 质数的维基百科资料:质数:维基百科
- ↑ 合数就是“合成数”。
- ↑ 维基百科:厄拉托西尼
- ↑ 0是偶数吗?
- ↑ 有些人会主张最后的结果要是一位数,这个结果称为数字的数根,在这个例子的数根为。所以有另外一个说法为数根为的整数都是的倍数。
- ↑ 可以用大的减小的避免负数的情形。
- ↑ 是,不是。
- ↑ 是。
- ↑ 。
- ↑ 。
- ↑ 。