国中数学/国中数学七年级/2-1 质因数分解

1-5 其他的数

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国中数学七年级 2-1 质因数分解

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2-2 最大公因数与最小公倍数

本章节将介绍关于分数的运算，不过在此之前，我们首先将介绍质因数分解的概念，然后进入最大公因数与最小公倍数，最后才进行分数运算。

因数与倍数

在国小学过，如果甲数、乙数与丙数都是整数，而且甲数$\div$乙数$=$丙数，则我们称乙数为甲数的因数，甲数为乙数的倍数。又因为当甲数不是$0$的时候，甲数$\div$乙数$=$丙数也代表甲数$\div$丙数$=$乙数，所以丙数也是甲数的因数，甲数也是丙数的倍数。

• 例如$15\div 5=3$，$5$和$3$都是$15$的因数，$15$是$5$的倍数，也是$3$的倍数。
• 简单来说，满足除法关系的三个整数中，最大的数为较小数的倍数。反之，比较小的两个数为最大数的因数。
• 因数的英文为factor，倍数的英文为multiple。

这样的定义可以延伸到负整数上，即如果$a,b,c$为三个任意整数(无论正负)而且满足$a\div b=c$，则$a$为$b,c$的倍数，$b,c$为$a$的因数 。但由于$a\div b=c$也代表着$a\div (-b)=-c$，故若$b,c$为$a$的因数时，$-b,-c$也为$a$的因数，所以在国中的课程当中，如果没有特别说明，“因数”都是指“正因数”。同理，“倍数”都是指“正倍数”。

• • 如$(-15)\div 5=-3$，$5$和$-3$都是$-15$的因数，$-15$是$5$的倍数，也是$-3$的倍数。
  • 同理$(-15)\div (-5)=3$，$-5$和$3$都是$-15$的因数，$-15$是$-5$的倍数，也是$3$的倍数。
• 很显然的，$b$的位置不能摆$0$，所以$0$不会是任何整数的因数。
• 因为$a\div 1=a$，所以$1$是任何整数的因数。
• 因为$0\div b=0$，所以$0$是任何非$0$整数的倍数。
• 因为$a\div a=1$，所以当$a$不是$0$时，$a$是$a$的因数，$a$也是$a$的倍数。
• 因为$a\div b=c$代表$b\times c=a$，所以有人也会用乘法的方式说明倍数与因数的关系。

要判断是否有因数与倍数的关系，我们只需要使用除法即可。

例题$1$ $(1)$请问$899$是不是$31$的倍数？ $(2)$请问$27$是不是$287$的因数？

解 $(1)$计算$899\div 31=29$，故$899$为$31$的倍数。 $(2)$计算$287\div 27=10...17$，故$27$不是$287$的因数。

习题
$(1)$判断$725,865$二数是不是$25$的倍数。
$(2)$判断$17$是不是$962$的因数。

质数与合数

我们知道任意一个整数$n$，它都至少有两个因数：$1$和它自己本身。

1. 如果除此之外$n$没有其他因数了，那么$n$我们称为质数(prime)。
   • 例如$11$的因数只有$1$和$11$，所以$11$是一个质数。
   • 以下列出$100$以内的$25$个质数：$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$，质数当中只有一个偶数$2$，因为除了$2$以外，其他偶数都有额外多一个$2$这个因数。质数当中末位数字是$5$的也只有$5$一个，因为除了$5$以外，末位数字是$5$的整数就必然会有$5$这个额外的因数。
2. 如果除此之外$n$还有其他因数，那么$n$我们称为合数(composite number)。
   • 例如$12$的因数除了$1$和$12$之外还有$2,3,4,6$，所以$12$是一个合数。
   • 常常会被误判成质数的合数：$51,57,87,91$。
3. $1$既不是质数也不是合数。
4. 埃拉托斯特尼筛法为一种找出质数的方法。

例题$2$：民国99年第二次基测第2题 下列选项中表示的数，哪一个是质数？ ${\begin{matrix}(A)2\times 13&&(B)1\times 12&&(C)1\times 79&&(D)7\times 13\end{matrix}}$

解 质数只有两个因数$1$和自己本身，也就是说质数只能有一种乘法分解的形式：$1\times$它自己。故$(A)(D)$错误。 $(B)12$为合数，$(C)79$为质数，故选$(C)$。

习题
下列四个数，哪一个不是质数？(96.第一次基测第7题)
${\begin{matrix}(A)41&&(B)61&&(C)71&&(D)91\end{matrix}}$

质因数分解与标准分解式

质因数

当一个正整数$p$既是质数，也是正整数$n$的因数，则我们称$p$为$n$的质因数。
例如：$15$的因数有$1,3,5,15$，其中$3,5$都是质数，故$3,5$是$15$的质因数。
习题
$(1)$请列出所有$42$的因数。
$(2)$$42$的质因数有哪些？

质因数分解

国小学过使用短除法将一个整数做质因数分解。而短除法的计算步骤如下：
1.如果$n$是质数则不用做以下的事情。
2.找出正整数$n$的质因数$p$，并计算$n\div p$的结果，在$n$周围画出“L”，并将质因数$p$放置在“L”左边，计算出来的商放置在“L”下层。

• 以$48$做例子：
• $48$的质因数有一个是$2$，所以先用$2$，而$48\div 2=24$，所以写法是：
• ${\begin{array}{lcl}2{\underline {)48}}\\{\color {White}0{\underline {)}}}24\\\end{array}}$

3.如果上一步的结果为质数，那么就结束；如果不是，就一直重复第2个步骤。

• 以$48$做例子：
• 因为$24$不是质数所以要继续，$24$的质因数有一个是$2$，所以用$2$除，而$24\div 2=12$，所以写法是：
• ${\begin{array}{lcl}2{\underline {)48}}\\2{\underline {)24}}\\{\color {White}0{\underline {)}}}12\\\end{array}}$
  
• 因为$12$不是质数所以要继续，$12$的质因数有一个是$2$，所以用$2$除，而$12\div 2=6$，所以写法是：
• ${\begin{array}{lcl}2{\underline {)48}}\\2{\underline {)24}}\\2{\underline {)12}}\\{\color {White}0{\underline {)0}}}6\\\end{array}}$
  
• 因为$6$不是质数所以要继续，$6$的质因数有一个是$2$，所以用$2$除，而$6\div 2=3$，所以写法是：
• ${\begin{array}{lcl}2{\underline {)48}}\\2{\underline {)24}}\\2{\underline {)12}}\\2{\underline {){\color {White}0}6}}\\{\color {White}0{\underline {)0}}}3\\\end{array}}$
  
• 因为$3$是质数所以结束了。

4.将所有“L”外围(左边与最下面)的数字写成连乘法就完成质因数分解。

• 以$48$为例，$48=2\times 2\times 2\times 2\times 3$。

标准分解式

由1-4 指数记法与科学记号单元知道相同数字连乘可以写成指数的形式。将$n$的质因数分解表示成质因数由小到大排列且写成质因数次方的形式，我们称这样的式子为$n$的标准分解式。

• 以$48$为例，$48=2\times 2\times 2\times 2\times 3=2^{4}\times 3$，$2^{4}\times 3$称为$48$的标准分解式。

倍数判别法

在上面的说明当中，找出一个整数的质因数是相当难的事情。如$221$的质因数是多少？或是RSA-155$39505874583265144526419767800614481996020776460304936454139376051579355626529450683609727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603$的质因数分解为何？
所以学习一些质数倍数的判别法就显得相当重要。底下列出质数$2,3,5,11$的质数判别法。其余的质数判别法或是合数倍数判别法，可以参考整除规则。

质数	倍数判别法	例子
$2$	末位数字为$0,2,4,6,8$。	$0$是$2$的倍数。
$3$	各位数字和为$3$的倍数。	$123456$是$3$的倍数，因为$1+2+3+4+5+6=21$，$21$是$3$的倍数。
$5$	末位数字为$0,5$。	$12345$是$5$的倍数。
$11$	个位数字为第$1$位，十位数字为第$2$位，百位数字为第$3$位，……，依此类推， 奇数位数字和与偶数位数字相减的结果为$0$或$11$的倍数。	${\color {red}4}{\color {blue}0}{\color {red}3}{\color {blue}0}{\color {red}8}{\color {blue}4}$是$11$的倍数，因为奇数位数字和为${\color {blue}4+0+0=4}$，偶数位数字和为${\color {red}8+3+4=15}$，${\color {blue}4}-{\color {red}15}=-11$为$11$的倍数。