國中數學/國中數學七年級/1-4 指數記法與科學記號

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 1-3 正負數的乘除 國中數學七年級
1-4 指數記法與科學記號
2-1 質因數分解 

本單元將要介紹連乘的簡易表示法,並且了解科學記號的表示方法。關於指數律,請見2-4 指數律

指數為正整數[编辑]

為正整數[註 1]為任意數時,我們定義

名詞介紹[编辑]

在式子當中:

  1. 讀作「次方」。
  2. 稱作底數
  3. 稱作指數
  4. 當指數時,我們會省略不寫。
  5. 當指數時,我們有時會稱平方
  6. 當指數時,我們有時會稱立方

如:在中,

  • 的底數為
  • 的指數為
  • 稱作「七的四次方」。

有時人們也會將用「a^n」這樣的形式表示。

底數為正整數[编辑]

底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以次。

如:

1的任意整數次方都是1[註 2]

底數為0[编辑]

0的任意正整數次方都是0[註 3]

底數為負整數[编辑]

底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以次。

如:

但是必須注意:

  1. 意義不相同,相反數
  2. -1的偶數次方為1,-1的奇數次方為-1。
  3. 當指數為奇數時,答案為負數。(即)
  4. 當指數為偶數時,答案為正數。(即)
例題
計算以下各式的值。

可以注意到指數為奇數,所以

例題
計算以下各式的值。

可以注意到指數為偶數,所以

小測

  

1

2

3 與以下哪一個數相等?

4 與以下哪一個數相等?

5 是多少的時候,的值是

6 中,哪一個數最大?

7 哪一個數是正數?


底數為小數[编辑]

底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以次。

如:

但是必須注意:

  1. 當底數時,愈大,的值就愈
  2. 當底數時,愈大,的值就愈
例題
計算以下各式的值。

小測

  

1

2

3

4

5

雖然以下兩題都是比較次方數的大小,但是答案卻不盡相同,請讀者好好體會。

例題
四數當中,哪一個數最大?哪一個數最小?

因為負數的偶數次方為正數,故為正數;負數的奇數次方為負數,故為負數。
,所以正數的次方愈多就會愈小,所以;負數的次方愈多則愈大,故,這四個數的大小順序依序為,最大的數為,最小的數為


例題
四數當中,哪一個數最大?哪一個數最小?

因為負數的偶數次方為正數,故為正數;負數的奇數次方為負數,故為負數。
,所以正數的次方愈多就會愈大,所以;負數的次方愈多則愈小,故,這四個數的大小順序依序為,最大的數為,最小的數為

小測

  

1 選出選項當中最大的選項。

2 選出選項當中最大的選項。

3 選出選項當中最大的選項。

4 選出選項當中最大的選項。


指數與四則運算[编辑]

在數學式的運算中,有指數必須先算。 如:,而不是

例題
計算以下各式的值。

小提醒
同號數相加,符號取同,數值相加;異號數相加,符號取絕對值較大者,數值相減。
減去一個數,就等於加上它的相反數。


使用計算機計算指數[编辑]

在工程計算機會有「」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式,在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「」→「指數」,不過還是要依據計算機功能來決定。

例如要算就依序按下「」→「」→「」即可得到螢幕顯示

如果你只有傳統計算機,你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「」→「底數」→「」→→「」,按「」的次數取決於指數數字,要按下「指數」次。

例如要算就依序按下「」→「」→「」→「」→「」→「」(共次「」)即可得到螢幕顯示

因為螢幕顯示的數字具有上限的限制,故有時計算的結果為近似值。如「」實際上是「」,但用計算機計算「」可能會出現「」或「」的字樣。那這代表的意思為何?我們會在底下的科學記號做進一步的說明。

指數的應用[编辑]

  • 林多紙草書第79題[課外連結 1]
  • 草履蟲的無性生殖[課外連結 2]。在恰當的環境下,每次分裂1隻可以分裂成2隻,再一次分裂就會從2隻變4隻,再一次分裂就會從4隻變8隻,……,所以經過次分裂,原本1隻草履蟲會變成隻草履蟲。
  • 如果能夠摺一張厚度毫米的紙次,那麼就可以抵達月球。

10的次方[编辑]

比較值得一提的是的次方。底下列出一些常用的次方數。

的次方數
代表數字
中文
十萬
百萬
千萬

可以看得出來,的值等於後面有

另外代表,也就是所謂的十分位、百分位……等數。

的次方數
代表分數
代表小數
位值
十分位
百分位
千分位
萬分位

注意藍色鋪底的數量,恰好等於次方數絕對值

例題
,請問要填入多少?

,請問要填入多少?

個零,所以代表,即
個零,所以代表,即

科學記號[编辑]

在科學上常常會遇到一些很大的數或是很小的數。比如說地球的質量大約為公斤[註 4],又如大腸桿菌的長度大小大約是公尺[註 5]。這樣很大的數或很小的數如果一直重複抄寫,很容易會多寫一個或少寫一個導致數據的不正確,於是將這些數字有一個統一的表示法就相當重要了。將一個整數寫成[註 6],其中介於之間(可以等於但不能等於[註 7]),為整數,我們稱科學記號表示法。如是一個科學記號的表示法。而不是科學記號表示法,因為超過也不是科學記號表示法,因為不是整數[註 8]
那要怎麼把一個正數表示為科學記號呢?

將比1大的數字轉換成科學記號[编辑]

首先注意就代表的小數點往移動位。如,所以想要找出,只需要反著作,也就是將小數點往移動到範圍為之間,可以等於但不能等於
我們以來作例子,因為,故;藍色數字總共有個,而且是向左移動,故

例題
請寫出以下各數的科學記號。

將比1小的數字轉換成科學記號[编辑]

再來我們要學習如何將比小的數字換成科學記號。首先注意就代表,也就是的小數點往移動位。如,所以想要找出,只需要反著作,也就是將小數點往移動到範圍為之間,可以等於但不能等於
我們以來作例子,因為,故;藍色數字總共有個,而且是向右移動,故

例題
請寫出以下各數的科學記號。

習題
請寫出以下各數的科學記號。
[習題解答 1]

科學記號的展開[编辑]

科學記號要還原回原本的數字,只要直接乘開即可。,也可以用移動小數點的方式計算。

大於1的正數展開[编辑]

,也可以將小數點往左移動格。
在這邊你可以注意一下是一個位數。

例題
乘開以下科學記號。

方法一、直接乘開:
方法二、移動小數點:,將往右移動位為
方法一、直接乘開:
方法二、移動小數點:,將往右移動位為

習題
展開下列各式,並觀察它們整數部分是幾位數。

題號
科學記號
展開的結果
整數部分為幾位數

[習題解答 2]

你有發現什麼嗎?最後一行的數字和藍色數字有什麼關係?

小於1的正數展開[编辑]

又如。也可以將小數點往右移動格。

例題
乘開以下科學記號。

方法一、直接乘開:
方法二、移動小數點:,將移動位為
方法一、直接乘開:
方法二、移動小數點:,將移動位為

習題
展開下列各式,並觀察它們小數點後第幾位開始出現不為的數字。

題號
科學記號
展開的結果
小數點後第幾位開始出現不為的數字

[習題解答 3]

你有發現什麼嗎?最後一行的數字和綠色數字的絕對值有什麼關係?

科學記號的數量級[编辑]

是科學記號,則稱為數量級。如,則稱的數量級。
由前面科學記號的展開,我們可以發現數量級與數的關聯性為:

  1. 或正整數,則的整數部分為位數。
  2. 是負整數,則小數點後第位開始不是
例題
乘開之後,在小數點與第一個非零數字之間總共有幾個零?

乘開之後,小數點後第位是多少?

乘開之後是位數,而其中占了三個位數,所以會有個零。
乘開之後,小數點後第位不是,是,所以小數點後第位是,小數點後第位是

將不是科學記號的數轉換成科學記號[编辑]

將一個不是科學記號的數,如轉換成科學記號,應該要怎麼做呢?我們底下舉例說明:

例題
將以下各數寫成科學記號。

要將的小數點向移動位變成,因為是向左移動,所以次方數加1
要將的小數點向移動位變成,因為是向右移動,所以次方數減4
要將的小數點向移動位變成,因為是向左移動,所以次方數加4
要將的小數點向移動位變成,因為是向右移動,所以次方數減5

科學記號的大小[编辑]

科學記號的大小比較:若皆是科學記號,則:

  1. 先比較的大小。
  2. 如果一樣大,則再比較的大小。

例子如下。

例題
比較以下各題的大小,在填入

因為的次方數,所以填入
雖然的次方數,所以填入

註釋[编辑]

  1. 在國中階段只討論指數為正整數與0的情況(10是例外,有討論10的整數次方)。
  2. 因為1自己乘幾次都是1。
  3. 因為0自己乘幾次都是0。
  4. 根據Google引擎搜尋的資料[1]
  5. 大腸桿菌長為,而。詳見此文章:大腸桿菌
  6. 電腦或是某些計算機會顯示為,如Google搜尋引擎找尋地球的質量會出現,這個數意思就是,也是科學記號表示法。
  7. 可以記成,此符號會在7-1 一元一次不等式的地方學習。
  8. 小數的次方我們會在高中階段介紹「指數」的時候介紹。詳情請參閱:指數(高中課程)

課外連結[编辑]

  1. 世界第一題趣味數學(五夢網)
  2. 草履蟲(維基百科)

習題解答[编辑]

  1. 題號
    科學記號
    展開的結果
    整數部分為幾位數
  2. 題號
    科學記號
    展開的結果
    小數點後第幾位開始出現不為的數字

更多資料[编辑]

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