本單元將要介紹連乘的簡易表示法,並且了解科學記號的表示方法。關於指數律,請見2-5 指數律。
當
為正整數[註 1],
為任意數時,我們定義
。
如
。
在式子
當中:
讀作「
的
次方」。
稱作底數。
稱作指數。
- 當指數
時,我們會省略不寫。
- 當指數
時,我們有時會稱
為
的平方。
- 當指數
時,我們有時會稱
為
的立方。
如:在
中,
的底數為
。
的指數為
。
稱作「七的四次方」。
有時人們也會將
用「a^n」這樣的形式表示。
底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以
次。
如:
。
1的任意整數次方都是1[註 2]。
0的任意正整數次方都是0[註 3]。
底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以
次。
如:
。
但是必須注意:
與
意義不相同,
是
的相反數,
是
。
- -1的偶數次方為1,-1的奇數次方為-1。
- 當指數為奇數時,答案為負數。(即
)
- 當指數為偶數時,答案為正數。(即
)
例題  計算以下各式的值。
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解
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可以注意到指數
為奇數,所以
。
例題  計算以下各式的值。
|
解
|
可以注意到指數
為偶數,所以
。
小測
底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以
次。
如:
。
但是必須注意:
- 當底數
時,
愈大,
的值就愈小。
- 當底數
時,
愈大,
的值就愈大。
例題  計算以下各式的值。
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解
|
小測
雖然以下兩題都是比較次方數的大小,但是答案卻不盡相同,請讀者好好體會。
例題  在  四數當中,哪一個數最大?哪一個數最小?
|
例題  在  四數當中,哪一個數最大?哪一個數最小?
|
小測
在數學式的運算中,有指數必須先算。
如:
,而不是
。
例題  計算以下各式的值。
|
在工程計算機會有「
」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式,在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「
」→「指數」,不過還是要依據計算機功能來決定。
例如要算
就依序按下「
」→「
」→「
」即可得到螢幕顯示
。
如果你只有傳統計算機,你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「
」→「底數」→「
」→
→「
」,按「
」的次數取決於指數數字,要按下「指數
」次。
例如要算
就依序按下「
」→「
」→「
」→「
」→「
」→「
」(共
次「
」)即可得到螢幕顯示
。
因為螢幕顯示的數字具有上限的限制,故有時計算的結果為近似值。如「
」實際上是「
」,但用計算機計算「
」可能會出現「
」或「
」的字樣。那這代表的意思為何?我們會在底下的科學記號做進一步的說明。
- 林多紙草書第79題[課外連結 1]
- 草履蟲的無性生殖[課外連結 2]。在恰當的環境下,每次分裂1隻可以分裂成2隻,再一次分裂就會從2隻變4隻,再一次分裂就會從4隻變8隻,……,所以經過
次分裂,原本1隻草履蟲會變成
隻草履蟲。
- 如果能夠摺一張厚度
毫米的紙
次,那麼就可以抵達月球。
比較值得一提的是
的次方。底下列出一些常用
的次方數。
的次方數
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代表數字
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中文
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一
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十
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百
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千
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萬
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十萬
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百萬
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千萬
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億
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兆
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可以看得出來,
的值等於
後面有
個
。
另外
代表
,也就是所謂的十分位、百分位……等數。
的次方數
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代表分數
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代表小數
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位值
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十分位
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百分位
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千分位
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萬分位
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注意藍色鋪底的
數量,恰好等於次方數
的絕對值。
例題   ,請問  要填入多少?
,請問 要填入多少?
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在科學上常常會遇到一些很大的數或是很小的數。比如說地球的質量大約為
公斤[註 4],又如大腸桿菌的長度大小大約是
公尺[註 5]。這樣很大的數或很小的數如果一直重複抄寫,很容易會多寫一個
或少寫一個
導致數據的不正確,於是將這些數字有一個統一的表示法就相當重要了。將一個整數
寫成
[註 6],其中
介於
到
之間(可以等於
但不能等於
[註 7]),
為整數,我們稱
為
的科學記號表示法。如
,
是一個科學記號的表示法。而
不是科學記號表示法,因為
超過
;
也不是科學記號表示法,因為
不是整數[註 8]。
那要怎麼把一個正數表示為科學記號呢?
首先注意
就代表
的小數點往右移動
位。如
,所以想要找出
,只需要反著作,也就是將小數點往左移動到範圍為
到
之間,可以等於
但不能等於
。
我們以
來作例子,因為
,故
;藍色數字總共有
個,而且是向左移動,故
。
例題  請寫出以下各數的科學記號。
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解
|
再來我們要學習如何將比
小的數字換成科學記號。首先注意
就代表
,也就是
的小數點往左移動
位。如
,所以想要找出
,只需要反著作,也就是將小數點往右移動到範圍為
到
之間,可以等於
但不能等於
。
我們以
來作例子,因為
,故
;藍色數字總共有
個,而且是向右移動,故
。
例題  請寫出以下各數的科學記號。
|
解
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習題
請寫出以下各數的科學記號。
[習題解答 1]
科學記號要還原回原本的數字,只要直接乘開即可。,也可以用移動小數點的方式計算。
如
,也可以將小數點往左移動
格。
在這邊你可以注意一下
是一個
位數。
例題  乘開以下科學記號。
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習題
展開下列各式,並觀察它們整數部分是幾位數。
題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
整數部分為幾位數
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[習題解答 2]
你有發現什麼嗎?最後一行的數字和藍色數字有什麼關係?
又如
。也可以將小數點往右移動
格。
例題  乘開以下科學記號。
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習題
展開下列各式,並觀察它們小數點後第幾位開始出現不為
的數字。
題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
小數點後第幾位開始出現不為 的數字
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[習題解答 3]
你有發現什麼嗎?最後一行的數字和綠色數字的絕對值有什麼關係?
若
是科學記號,則
稱為
的數量級。如
,則稱
為
的數量級。
由前面科學記號的展開,我們可以發現數量級與數的關聯性為:
- 若
是
或正整數,則
的整數部分為
位數。
- 若
是負整數,則
小數點後第
位開始不是
。
例題   乘開之後,在小數點與第一個非零數字  之間總共有幾個零?
乘開之後,小數點後第 位是多少?
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將一個不是科學記號的數,如
轉換成科學記號,應該要怎麼做呢?我們底下舉例說明:
例題  將以下各數寫成科學記號。
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科學記號的大小比較:若
與
皆是科學記號,則:
- 先比較
與
的大小。
- 如果
一樣大,則再比較
、
的大小。
例子如下。
例題  比較以下各題的大小,在  填入  或  。
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- ↑ 在國中階段只討論指數為正整數與0的情況(10是例外,有討論10的整數次方)。
- ↑ 因為1自己乘幾次都是1。
- ↑ 因為0自己乘幾次都是0。
- ↑ 根據Google引擎搜尋的資料[1]。
- ↑ 大腸桿菌長為
,而
。詳見此文章:大腸桿菌。
- ↑ 電腦或是某些計算機會顯示為
,如Google搜尋引擎找尋地球的質量會出現
,這個數意思就是
,也是科學記號表示法。
- ↑ 可以記成
,此符號會在7-1 一元一次不等式的地方學習。
- ↑ 小數的次方我們會在高中階段介紹「指數」的時候介紹。詳情請參閱:指數(高中課程)。
- ↑ 世界第一題趣味數學(五夢網)
- ↑ 草履蟲(維基百科)
- ↑
- ↑
題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
整數部分為幾位數
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- ↑
題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
小數點後第幾位開始出現不為 的數字
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