本單元將要介紹連乘的簡易表示法,並且了解科學記號的表示方法。關於指數律,請見2-5 指數律。
當
為正整數[註 1],
為任意數時,我們定義
。
如
。
在式子
當中:
讀作「
的
次方」。
稱作底數。
稱作指數。
- 當指數
時,我們會省略不寫。
- 當指數
時,我們有時會稱
為
的平方。
- 當指數
時,我們有時會稱
為
的立方。
如:在
中,
的底數為
。
的指數為
。
稱作「七的四次方」。
有時人們也會將
用「a^n」這樣的形式表示。
底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以
次。
如:
。
1的任意整數次方都是1[註 2]。
0的任意正整數次方都是0[註 3]。
底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以
次。
如:
。
但是必須注意:
與
意義不相同,
是
的相反數,
是
。
- -1的偶數次方為1,-1的奇數次方為-1。
- 當指數為奇數時,答案為負數。(即
)
- 當指數為偶數時,答案為正數。(即
)
例題 ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) 計算以下各式的值。
|
解
|
可以注意到指數
為奇數,所以
。
例題 ![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) 計算以下各式的值。
|
解
|
可以注意到指數
為偶數,所以
。
小測
底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以
次。
如:
。
但是必須注意:
- 當底數
時,
愈大,
的值就愈小。
- 當底數
時,
愈大,
的值就愈大。
例題 ![{\displaystyle 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f) 計算以下各式的值。
|
解
|
小測
雖然以下兩題都是比較次方數的大小,但是答案卻不盡相同,請讀者好好體會。
例題 ![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) 在 ![{\displaystyle (-0.99)^{3},(-0.99)^{4},(-0.99)^{5},(-0.99)^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320bc5ed3d34f48805726592c61cc43ec0170400) 四數當中,哪一個數最大?哪一個數最小?
|
例題 ![{\displaystyle 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b) 在 ![{\displaystyle (-1.01)^{3},(-1.01)^{4},(-1.01)^{5},(-1.01)^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d3c823749b1ee9ace015bf16ed5d18c7884f39) 四數當中,哪一個數最大?哪一個數最小?
|
小測
在數學式的運算中,有指數必須先算。
如:
,而不是
。
例題 ![{\displaystyle 6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d81124420a058a7474dfeda48228fb6ee1e253) 計算以下各式的值。
|
在工程計算機會有「
」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式,在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「
」→「指數」,不過還是要依據計算機功能來決定。
例如要算
就依序按下「
」→「
」→「
」即可得到螢幕顯示
。
如果你只有傳統計算機,你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「
」→「底數」→「
」→
→「
」,按「
」的次數取決於指數數字,要按下「指數
」次。
例如要算
就依序按下「
」→「
」→「
」→「
」→「
」→「
」(共
次「
」)即可得到螢幕顯示
。
因為螢幕顯示的數字具有上限的限制,故有時計算的結果為近似值。如「
」實際上是「
」,但用計算機計算「
」可能會出現「
」或「
」的字樣。那這代表的意思為何?我們會在底下的科學記號做進一步的說明。
- 林多紙草書第79題[課外連結 1]
- 草履蟲的無性生殖[課外連結 2]。在恰當的環境下,每次分裂1隻可以分裂成2隻,再一次分裂就會從2隻變4隻,再一次分裂就會從4隻變8隻,……,所以經過
次分裂,原本1隻草履蟲會變成
隻草履蟲。
- 如果能夠摺一張厚度
毫米的紙
次,那麼就可以抵達月球。
比較值得一提的是
的次方。底下列出一些常用
的次方數。
的次方數
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代表數字
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中文
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一
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十
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百
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千
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萬
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十萬
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|
|
百萬
|
|
|
千萬
|
|
|
億
|
|
|
兆
|
可以看得出來,
的值等於
後面有
個
。
另外
代表
,也就是所謂的十分位、百分位……等數。
的次方數
|
代表分數
|
代表小數
|
位值
|
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|
十分位
|
|
|
|
百分位
|
|
|
|
千分位
|
|
|
|
萬分位
|
注意藍色鋪底的
數量,恰好等於次方數
的絕對值。
例題 ![{\displaystyle 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee716ec61382a6b795092c0edd859d12e64cbba8) ![{\displaystyle (1){\frac {1}{10000000}}=10^{\Box }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09bb012e28200279db330a63b29b244e229bfd1d) ,請問 ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b) 要填入多少?
,請問 要填入多少?
|
在科學上常常會遇到一些很大的數或是很小的數。比如說地球的質量大約為
公斤[註 4],又如大腸桿菌的長度大小大約是
公尺[註 5]。這樣很大的數或很小的數如果一直重複抄寫,很容易會多寫一個
或少寫一個
導致數據的不正確,於是將這些數字有一個統一的表示法就相當重要了。將一個整數
寫成
[註 6],其中
介於
到
之間(可以等於
但不能等於
[註 7]),
為整數,我們稱
為
的科學記號表示法。如
,
是一個科學記號的表示法。而
不是科學記號表示法,因為
超過
;
也不是科學記號表示法,因為
不是整數[註 8]。
那要怎麼把一個正數表示為科學記號呢?
首先注意
就代表
的小數點往右移動
位。如
,所以想要找出
,只需要反著作,也就是將小數點往左移動到範圍為
到
之間,可以等於
但不能等於
。
我們以
來作例子,因為
,故
;藍色數字總共有
個,而且是向左移動,故
。
例題 ![{\displaystyle 8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa997e6ad67716cfaa9a02c4df860bf60a95b5) 請寫出以下各數的科學記號。
|
解
|
再來我們要學習如何將比
小的數字換成科學記號。首先注意
就代表
,也就是
的小數點往左移動
位。如
,所以想要找出
,只需要反著作,也就是將小數點往右移動到範圍為
到
之間,可以等於
但不能等於
。
我們以
來作例子,因為
,故
;藍色數字總共有
個,而且是向右移動,故
。
例題 ![{\displaystyle 9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd) 請寫出以下各數的科學記號。
|
解
|
習題
請寫出以下各數的科學記號。
[習題解答 1]
科學記號要還原回原本的數字,只要直接乘開即可。,也可以用移動小數點的方式計算。
如
,也可以將小數點往左移動
格。
在這邊你可以注意一下
是一個
位數。
例題 ![{\displaystyle 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec811eb07dcac7ea67b413c5665390a1671ecb0) 乘開以下科學記號。
|
習題
展開下列各式,並觀察它們整數部分是幾位數。
題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
整數部分為幾位數
|
![{\displaystyle (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25115739469707c4758b189fe310a750092a80a) |
![{\displaystyle 4.5\times 10^{\color {blue}3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b05bd2682b691ef1b0a4aef3ec23a2e8672375a) |
|
|
![{\displaystyle (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f88fdd4acbb57a291f9eb9f23ae23a1e492b30) |
![{\displaystyle 4.5\times 10^{\color {blue}4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85f8d373746709d24b4da6950b04c58229099f9) |
|
|
![{\displaystyle (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ff45737214013a8e04d59d0de54318086be26a) |
![{\displaystyle 7.34\times 10^{\color {blue}6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462d8d365245aa4fea622f67e09b5d661d2eea8a) |
|
|
![{\displaystyle (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acef5ddcf7badc13caf068a811d4fd5812eca8c3) |
![{\displaystyle 7.34\times 10^{\color {blue}7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2895ce3b7d781a7ba5ea73cc24b67b4f65c1837c) |
|
|
[習題解答 2]
你有發現什麼嗎?最後一行的數字和藍色數字有什麼關係?
又如
。也可以將小數點往右移動
格。
例題 ![{\displaystyle 11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6aabe7c6af49fe640b2d401cb2dbe909bb7475) 乘開以下科學記號。
|
習題
展開下列各式,並觀察它們小數點後第幾位開始出現不為
的數字。
題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
小數點後第幾位開始出現不為 的數字
|
![{\displaystyle (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25115739469707c4758b189fe310a750092a80a) |
![{\displaystyle 4.5\times 10^{\color {green}-3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d865996916ee719063d2328e56a6dd21210a59b1) |
|
|
![{\displaystyle (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f88fdd4acbb57a291f9eb9f23ae23a1e492b30) |
![{\displaystyle 4.5\times 10^{\color {green}-4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843e2c4821f0f45c012c58b8e5838512bf797c5f) |
|
|
![{\displaystyle (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ff45737214013a8e04d59d0de54318086be26a) |
![{\displaystyle 7.34\times 10^{\color {green}-6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661b4537f860a37885802272ad97cc8c5c45be4b) |
|
|
![{\displaystyle (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acef5ddcf7badc13caf068a811d4fd5812eca8c3) |
![{\displaystyle 7.34\times 10^{\color {green}-7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab605220776a1db68f21be2202c7eec4b749773) |
|
|
[習題解答 3]
你有發現什麼嗎?最後一行的數字和綠色數字的絕對值有什麼關係?
若
是科學記號,則
稱為
的數量級。如
,則稱
為
的數量級。
由前面科學記號的展開,我們可以發現數量級與數的關聯性為:
- 若
是
或正整數,則
的整數部分為
位數。
- 若
是負整數,則
小數點後第
位開始不是
。
例題 ![{\displaystyle 12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a522d3aa5812a136a69f06e1b909d809e849be39) ![{\displaystyle (1)3.89\times 10^{15}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c395a1d970e53325aa4f96bbebc22eabeeaf42) 乘開之後,在小數點與第一個非零數字 ![{\displaystyle 9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd) 之間總共有幾個零?
乘開之後,小數點後第 位是多少?
|
將一個不是科學記號的數,如
轉換成科學記號,應該要怎麼做呢?我們底下舉例說明:
例題 ![{\displaystyle 13}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d478c234d544278fb494e9610b7b3310567302b0) 將以下各數寫成科學記號。
|
科學記號的大小比較:若
與
皆是科學記號,則:
- 先比較
與
的大小。
- 如果
一樣大,則再比較
、
的大小。
例子如下。
例題 ![{\displaystyle 14}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0599c6d5e184865910f777d74957032713eed57e) 比較以下各題的大小,在 ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b) 填入 ![{\displaystyle >}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b27b77ab4e3293ea9ce65cef60fea655c398423) 或 ![{\displaystyle <}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33737c89a17785dacc8638b4d66db3d5c8670de1) 。
|
- ↑ 在國中階段只討論指數為正整數與0的情況(10是例外,有討論10的整數次方)。
- ↑ 因為1自己乘幾次都是1。
- ↑ 因為0自己乘幾次都是0。
- ↑ 根據Google引擎搜尋的資料[1]。
- ↑ 大腸桿菌長為
,而
。詳見此文章:大腸桿菌。
- ↑ 電腦或是某些計算機會顯示為
,如Google搜尋引擎找尋地球的質量會出現
,這個數意思就是
,也是科學記號表示法。
- ↑ 可以記成
,此符號會在7-1 一元一次不等式的地方學習。
- ↑ 小數的次方我們會在高中階段介紹「指數」的時候介紹。詳情請參閱:指數(高中課程)。
- ↑ 世界第一題趣味數學(五夢網)
- ↑ 草履蟲(維基百科)
- ↑
- ↑
題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
整數部分為幾位數
|
![{\displaystyle (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25115739469707c4758b189fe310a750092a80a) |
![{\displaystyle 4.5\times 10^{\color {blue}3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b05bd2682b691ef1b0a4aef3ec23a2e8672375a) |
![{\displaystyle {\color {red}4500}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b78c3dcf9a23f00d1a42a61cd58dd8778a5439) |
|
![{\displaystyle (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f88fdd4acbb57a291f9eb9f23ae23a1e492b30) |
![{\displaystyle 4.5\times 10^{\color {blue}4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85f8d373746709d24b4da6950b04c58229099f9) |
![{\displaystyle {\color {red}45000}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d665159a84b757bbd24d4b90ec3d0a3522fc6550) |
|
![{\displaystyle (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ff45737214013a8e04d59d0de54318086be26a) |
![{\displaystyle 7.34\times 10^{\color {blue}6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462d8d365245aa4fea622f67e09b5d661d2eea8a) |
![{\displaystyle {\color {red}7340000}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29dcabcd8bbd31a2dd5fa5da66455c90152e93bd) |
|
![{\displaystyle (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acef5ddcf7badc13caf068a811d4fd5812eca8c3) |
![{\displaystyle 7.34\times 10^{\color {blue}7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2895ce3b7d781a7ba5ea73cc24b67b4f65c1837c) |
![{\displaystyle {\color {red}73400000}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eeb03b27639657601f9ea5afc3437f470ec1b6c) |
|
- ↑
題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
小數點後第幾位開始出現不為 的數字
|
![{\displaystyle (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25115739469707c4758b189fe310a750092a80a) |
![{\displaystyle 4.5\times 10^{\color {green}-3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d865996916ee719063d2328e56a6dd21210a59b1) |
![{\displaystyle {\color {red}0.0045}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c38803944799adb063ef680808eceebee932ac) |
|
![{\displaystyle (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f88fdd4acbb57a291f9eb9f23ae23a1e492b30) |
![{\displaystyle 4.5\times 10^{\color {green}-4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843e2c4821f0f45c012c58b8e5838512bf797c5f) |
![{\displaystyle {\color {red}0.00045}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5522420eb5f9610426d3c66295f110d94f80a90e) |
|
![{\displaystyle (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ff45737214013a8e04d59d0de54318086be26a) |
![{\displaystyle 7.34\times 10^{\color {green}-6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661b4537f860a37885802272ad97cc8c5c45be4b) |
![{\displaystyle {\color {red}0.00000734}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5eabcb470eacb3898b5d22cf5c4426cb898055) |
|
![{\displaystyle (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acef5ddcf7badc13caf068a811d4fd5812eca8c3) |
![{\displaystyle 7.34\times 10^{\color {green}-7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab605220776a1db68f21be2202c7eec4b749773) |
![{\displaystyle {\color {red}0.000000734}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ef540c45c097ce291001a53579cc921f55a85e) |
|