國中數學/指數記號

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當$n$為正整數，$a$為任意數時，我們定義$a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots \times a} _{n}$。

如$5^{3}=5\times 5\times 5=125$。

名詞介紹

在式子$a^{n}$當中：

1. $a^{n}$讀作$a$的$n$次方。
2. $a$稱作底數。
3. $n$稱作指數。
4. 當指數$n=1$時，我們會省略不寫。
5. 當指數$n=2$時，我們有時會稱$a^{2}$為$a$的平方。
6. 當指數$n=3$時，我們有時會稱$a^{3}$為$a$的立方。

如：在$7^{4}$中，

• $7^{4}$的底數為$7$。
• $7^{4}$的指數為$4$。
• $7^{4}$稱作「七的四次方」。

有時人們也會將$a^{n}$用「a^n」這樣的形式表示。

底數為正整數

底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以$n$次。

如：$7^{4}=7\times 7\times 7\times 7=2401$。

1的任意整數次方都是1。

另見：

• 10的整數次方

底數為0

0的任意正整數次方都是0。

底數為負整數

底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以$n$次。

如：$(-7)^{4}=(-7)\times (-7)\times (-7)\times (-7)=2401$。

但是必須注意：

1. $-a^{n}$與$(-a)^{n}$意義不相同，$-a^{n}$是$a^{n}$的相反數，$(-a)^{n}$是$\underbrace {(-a)\times (-a)\times (-a)\times \cdots \times (-a)} _{n}$。
2. -1的偶數次方為1，-1的奇數次方為-1。
3. 當指數為奇數時，答案為負數。(即$(-a)^{n}=-a^{n}$)
4. 當指數為偶數時，答案為正數。(即$(-a)^{n}=a^{n}$)

底數為小數

底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以$n$次。

如：$0.3^{3}=0.3\times 0.3\times 0.3=0.027$。

但是必須注意：

1. 當底數$0<a<1$時，$n$愈大，$a^{n}$的值就愈小。
2. 當底數$a>1$時，$n$愈大，$a^{n}$的值就愈大。

底數為分數

底數為分數的指數運算有兩種算法：

1. 直接將分數乘以$n$次。
2. 先將分子乘以$n$次得到$A$，再將分母乘以$n$次得到$B$，答案就是${\frac {A}{B}}$。

如：

1. $({\frac {4}{5}})^{3}={\frac {4}{5}}\times {\frac {4}{5}}\times {\frac {4}{5}}={\frac {64}{125}}$。
2. 因為$4^{3}=4\times 4\times 4=64$，$5^{3}=5\times 5\times 5=125$，所以$({\frac {4}{5}})^{3}={\frac {64}{125}}$。

但是必須注意：

1. ${\frac {a}{b}}^{n}$可能會與${\frac {a^{n}}{b}}$的意義混淆，所以分數的次方需要先加上小括號，寫成$({\frac {a}{b}})^{n}$。
2. 帶分數必須先換成假分數再作次方的運算。如$(1{\frac {4}{11}})^{2}=({\frac {15}{11}})^{2}={\frac {225}{121}}$。
3. 當底數$0<a<1$時，$n$愈大，$a^{n}$的值就愈小。
4. 當底數$a>1$時，$n$愈大，$a^{n}$的值就愈大。

指數與四則運算

在數學式的運算中，有指數必須先算。 如：$3\times 5^{2}=3\times 25=75$，而不是$3\times 5^{2}=15^{2}=225$。

指數律

底下算式中，$a$、$b$是隨意兩個數，$m$、$n$是兩個正整數，則：

1. $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
2. $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$($a\neq 0$)
3. $(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}$
4. $(a\div b)^{n}=a^{n}\div b^{n}$($b\neq 0$)
5. $(a^{m})^{n}=(a^{n})^{m}=a^{mn}$

指數為0

除了0之外，我們定義任意數的零次方為1，即$a^{0}=1$。

使用計算機計算指數

在工程計算機會有「$x^{y}$」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式，在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「$x^{y}$」→「指數」，不過還是要依據計算機功能來決定。

例如要算$7^{4}$就依序按下「$7$」→「$x^{y}$」→「$4$」即可得到螢幕顯示$2401$。

如果你只有傳統計算機，你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「$\times$」→「底數」→「$=$」→$\cdots$→「$=$」，按「$=$」的次數取決於指數數字，要按下「指數$-1$」次。

例如要算$7^{4}$就依序按下「$7$」→「$\times$」→「$7$」→「$=$」→「$=$」→「$=$」(共$4-1=3$次「$=$」)即可得到螢幕顯示$2401$。

因為螢幕顯示的數字具有上限的限制，故有時計算的結果為近似值。如「$2^{100}$」實際上是「$1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376$」，但用計算機計算「$2^{100}$」可能會出現「$1.2676506\times 10^{30}$」或「$12676506E+30$」的字樣。那這代表的意思為何？我們會在科學記號做進一步的說明。

指數的應用

• 林多紙草書第79題
• 草履蟲的無性生殖。在恰當的環境下，每次分裂1隻可以分裂成2隻，再一次分裂就會從2隻變4隻，再一次分裂就會從4隻變8隻，……，所以經過$n$次分裂，原本1隻草履蟲會變成$2^{n}$隻草履蟲。
• 如果能夠摺一張厚度$0.1$毫米的紙$42$次，那麼就可以抵達月球。

課外補充：指數為負整數

我們知道若$a\neq 0$，則$a^{0}=1$。那麼根據指數律第2條$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$($a\neq 0$)，我們知道$a^{0}\div a^{n}=a^{0-n}=a^{-n}$，又因為$a^{0}\div a^{n}=1\div a^{n}={\frac {1}{a^{n}}}$，所以自然的，我們定義$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$(當然，$a\neq 0$)。

而利用指數律第4條，你會發現$({\frac {1}{a}})^{n}=(1\div a)^{n}=1^{n}\div a^{n}=1\div a^{n}={\frac {1}{a^{n}}}$，所以有時也會定義$a^{-n}=({\frac {1}{a}})^{n}$($a\neq 0$)。

更多資料

• 指數(高中數學)

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冪