國中數學 > 算式 > 指數記號
當
為正整數[註 1],
為任意數時,我們定義
。
如
。
名詞介紹[编辑]
在式子
當中:
讀作
的
次方。
稱作底數。
稱作指數。
- 當指數
時,我們會省略不寫。
- 當指數
時,我們有時會稱
為
的平方。
- 當指數
時,我們有時會稱
為
的立方。
如:在
中,
的底數為
。
的指數為
。
稱作「七的四次方」。
有時人們也會將
用「a^n」這樣的形式表示。
底數為正整數[编辑]
底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以
次。
如:
。
1的任意整數次方都是1[註 2]。
另見:
底數為0[编辑]
0的任意正整數次方都是0[註 3]。
底數為負整數[编辑]
底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以
次。
如:
。
但是必須注意:
與
意義不相同,
是
的相反數,
是
。
- -1的偶數次方為1,-1的奇數次方為-1。
- 當指數為奇數時,答案為負數。(即
)
- 當指數為偶數時,答案為正數。(即
)
底數為小數[编辑]
底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以
次。
如:
。
但是必須注意:
- 當底數
時,
愈大,
的值就愈小。
- 當底數
時,
愈大,
的值就愈大。
底數為分數[编辑]
底數為分數的指數運算有兩種算法:
- 直接將分數乘以
次。
- 先將分子乘以
次得到
,再將分母乘以
次得到
,答案就是
。
如:
。
- 因為
,
,所以
。
但是必須注意:
可能會與
的意義混淆,所以分數的次方需要先加上小括號,寫成
。
- 帶分數必須先換成假分數再作次方的運算。如
。
- 當底數
時,
愈大,
的值就愈小。
- 當底數
時,
愈大,
的值就愈大。
指數與四則運算[编辑]
在數學式的運算中,有指數必須先算。
如:
,而不是
。
指數律[编辑]
底下算式中,
、
是隨意兩個數[註 4],
、
是兩個正整數,則:

(
)

(
)[註 5][註 6]

指數為0[编辑]
除了0之外,我們定義任意數的零次方為1,即
。[註 7]
使用計算機計算指數[编辑]
在工程計算機會有「
」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式,在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「
」→「指數」,不過還是要依據計算機功能來決定。
例如要算
就依序按下「
」→「
」→「
」即可得到螢幕顯示
。
如果你只有傳統計算機,你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「
」→「底數」→「
」→
→「
」,按「
」的次數取決於指數數字,要按下「指數
」次。
例如要算
就依序按下「
」→「
」→「
」→「
」→「
」→「
」(共
次「
」)即可得到螢幕顯示
。
因為螢幕顯示的數字具有上限的限制,故有時計算的結果為近似值。如「
」實際上是「
」,但用計算機計算「
」可能會出現「
」或「
」的字樣。那這代表的意思為何?我們會在科學記號做進一步的說明。
指數的應用[编辑]
- 林多紙草書第79題[課外連結 1]
- 草履蟲的無性生殖[課外連結 2]。在恰當的環境下,每次分裂1隻可以分裂成2隻,再一次分裂就會從2隻變4隻,再一次分裂就會從4隻變8隻,……,所以經過
次分裂,原本1隻草履蟲會變成
隻草履蟲。
- 如果能夠摺一張厚度
毫米的紙
次,那麼就可以抵達月球。
課外補充:指數為負整數[编辑]
我們知道若
,則
。那麼根據指數律第2條
(
),我們知道
,又因為
,所以自然的,我們定義
(當然,
)。
而利用指數律第4條,你會發現
,所以有時也會定義
(
)。[註 8][註 9]
- ↑ 在國中階段只討論指數為正整數與0的情況(10是例外,有討論10的整數次方)。
- ↑ 因為1自己乘幾次都是1。
- ↑ 因為0自己乘幾次都是0。
- ↑ 部分要求
或
的原因是因為不能除以0。
- ↑ 另外常見的形式為
(
)。
- ↑ 為什麼底數為分數可以有第二個算法的原因。
- ↑ 依照指數律觀點來看,
,又
是本來就成立的式子,所以
。不定義
的原因在這裡,因為不能除以0。
- ↑
為
的倒數。
- ↑ 這條通常用於分數。要計算
,只要算
即可。
課外連結[编辑]
- ↑ 世界第一題趣味數學(五夢網)
- ↑ 草履蟲(維基百科)
更多資料[编辑]