國中數學 > 算式 > 指數記號
當為正整數[註 1],為任意數時,我們定義。
如。
在式子當中:
- 讀作的次方。
- 稱作底數。
- 稱作指數。
- 當指數時,我們會省略不寫。
- 當指數時,我們有時會稱為的平方。
- 當指數時,我們有時會稱為的立方。
如:在中,
- 的底數為。
- 的指數為。
- 稱作「七的四次方」。
有時人們也會將用「a^n」這樣的形式表示。
底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以次。
如:。
1的任意整數次方都是1[註 2]。
另見:
0的任意正整數次方都是0[註 3]。
底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以次。
如:。
但是必須注意:
- 與意義不相同,是的相反數,是。
- -1的偶數次方為1,-1的奇數次方為-1。
- 當指數為奇數時,答案為負數。(即)
- 當指數為偶數時,答案為正數。(即)
底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以次。
如:。
但是必須注意:
- 當底數時,愈大,的值就愈小。
- 當底數時,愈大,的值就愈大。
底數為分數的指數運算有兩種算法:
- 直接將分數乘以次。
- 先將分子乘以次得到,再將分母乘以次得到,答案就是。
如:
- 。
- 因為,,所以。
但是必須注意:
- 可能會與的意義混淆,所以分數的次方需要先加上小括號,寫成。
- 帶分數必須先換成假分數再作次方的運算。如。
- 當底數時,愈大,的值就愈小。
- 當底數時,愈大,的值就愈大。
在數學式的運算中,有指數必須先算。
如:,而不是。
底下算式中,、是隨意兩個數[註 4],、是兩個正整數,則:
- ()
- ()[註 5][註 6]
除了0之外,我們定義任意數的零次方為1,即。[註 7]
在工程計算機會有「」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式,在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「」→「指數」,不過還是要依據計算機功能來決定。
例如要算就依序按下「」→「」→「」即可得到螢幕顯示。
如果你只有傳統計算機,你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「」→「底數」→「」→→「」,按「」的次數取決於指數數字,要按下「指數」次。
例如要算就依序按下「」→「」→「」→「」→「」→「」(共次「」)即可得到螢幕顯示。
因為螢幕顯示的數字具有上限的限制,故有時計算的結果為近似值。如「」實際上是「」,但用計算機計算「」可能會出現「」或「」的字樣。那這代表的意思為何?我們會在科學記號做進一步的說明。
- 林多紙草書第79題[課外連結 1]
- 草履蟲的無性生殖[課外連結 2]。在恰當的環境下,每次分裂1隻可以分裂成2隻,再一次分裂就會從2隻變4隻,再一次分裂就會從4隻變8隻,……,所以經過次分裂,原本1隻草履蟲會變成隻草履蟲。
- 如果能夠摺一張厚度毫米的紙次,那麼就可以抵達月球。
我們知道若,則。那麼根據指數律第2條(),我們知道,又因為,所以自然的,我們定義(當然,)。
而利用指數律第4條,你會發現,所以有時也會定義()。[註 8][註 9]
- ↑ 在國中階段只討論指數為正整數與0的情況(10是例外,有討論10的整數次方)。
- ↑ 因為1自己乘幾次都是1。
- ↑ 因為0自己乘幾次都是0。
- ↑ 部分要求或的原因是因為不能除以0。
- ↑ 另外常見的形式為()。
- ↑ 為什麼底數為分數可以有第二個算法的原因。
- ↑ 依照指數律觀點來看,,又是本來就成立的式子,所以。不定義的原因在這裏,因為不能除以0。
- ↑ 為的倒數。
- ↑ 這條通常用於分數。要計算,只要算即可。
- ↑ 世界第一題趣味數學(五夢網)
- ↑ 草履蟲(維基百科)