国中数学/指数记号

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国中数学 > 算式 > 指数记号

为正整数[注 1]为任意数时,我们定义

名词介绍[编辑]

在式子当中:

  1. 读作次方。
  2. 称作底数
  3. 称作指数
  4. 当指数时,我们会省略不写。
  5. 当指数时,我们有时会称平方
  6. 当指数时,我们有时会称立方

如:在中,

  • 的底数为
  • 的指数为
  • 称作“七的四次方”。

有时人们也会将用“a^n”这样的形式表示。

底数为正整数[编辑]

底数为正整数的指数运算就是直接将正整数乘以次。

如:

1的任意整数次方都是1[注 2]

另见:

底数为0[编辑]

0的任意正整数次方都是0[注 3]

底数为负整数[编辑]

底数为负整数的指数运算就是直接将负整数乘以次。

如:

但是必须注意:

  1. 意义不相同,相反数
  2. -1的偶数次方为1,-1的奇数次方为-1。
  3. 当指数为奇数时,答案为负数。(即)
  4. 当指数为偶数时,答案为正数。(即)

底数为小数[编辑]

底数为小数的指数运算就是直接将小数乘以次。

如:

但是必须注意:

  1. 当底数时,愈大,的值就愈
  2. 当底数时,愈大,的值就愈

底数为分数[编辑]

底数为分数的指数运算有两种算法:

  1. 直接将分数乘以次。
  2. 先将分子乘以次得到,再将分母乘以次得到,答案就是

如:

  1. 因为,所以

但是必须注意:

  1. 可能会与的意义混淆,所以分数的次方需要先加上小括号,写成
  2. 带分数必须先换成假分数再作次方的运算。如
  3. 当底数时,愈大,的值就愈
  4. 当底数时,愈大,的值就愈

指数与四则运算[编辑]

在数学式的运算中,有指数必须先算。 如:,而不是

指数律[编辑]

底下算式中,是随意两个数[注 4]是两个正整数,则:

  1. ()
  2. ()[注 5][注 6]

指数为0[编辑]

除了0之外,我们定义任意数的零次方为1,即[注 7]

使用计算机计算指数[编辑]

在工程计算机会有“”这样的按键。根据功能的不同也有不同的输入方式,在大部分的情况都是依序输入“底数”→“”→“指数”,不过还是要依据计算机功能来决定。

例如要算就依序按下“”→“”→“”即可得到萤幕显示

如果你只有传统计算机,你还是可以计算指数为正整数的情形。只要依序按下“底数”→“”→“底数”→“”→→“”,按“”的次数取决于指数数字,要按下“指数”次。

例如要算就依序按下“”→“”→“”→“”→“”→“”(共次“”)即可得到萤幕显示

因为萤幕显示的数字具有上限的限制,故有时计算的结果为近似值。如“”实际上是“”,但用计算机计算“”可能会出现“”或“”的字样。那这代表的意思为何?我们会在科学记号做进一步的说明。

指数的应用[编辑]

  • 林多纸草书第79题[课外连结 1]
  • 草履虫的无性生殖[课外连结 2]。在恰当的环境下,每次分裂1只可以分裂成2只,再一次分裂就会从2只变4只,再一次分裂就会从4只变8只,……,所以经过次分裂,原本1只草履虫会变成只草履虫。
  • 如果能够折一张厚度毫米的纸次,那么就可以抵达月球。

课外补充:指数为负整数[编辑]

我们知道若,则。那么根据指数律第2条(),我们知道,又因为,所以自然的,我们定义(当然,)。

而利用指数律第4条,你会发现,所以有时也会定义()。[注 8][注 9]

注释[编辑]

  1. 在国中阶段只讨论指数为正整数与0的情况(10是例外,有讨论10的整数次方)。
  2. 因为1自己乘几次都是1。
  3. 因为0自己乘几次都是0。
  4. 部分要求的原因是因为不能除以0。
  5. 另外常见的形式为()。
  6. 为什么底数为分数可以有第二个算法的原因。
  7. 依照指数律观点来看,,又是本来就成立的式子,所以。不定义的原因在这里,因为不能除以0。
  8. 倒数
  9. 这条通常用于分数。要计算,只要算即可。

课外连结[编辑]

  1. 世界第一题趣味数学(五梦网)
  2. 草履虫(维基百科)

更多资料[编辑]

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