國中數學/指數記號

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國中數學 > 算式 > 指數記號

為正整數[註 1]為任意數時,我們定義

名詞介紹[編輯]

在式子當中:

  1. 讀作次方。
  2. 稱作底數
  3. 稱作指數
  4. 當指數時,我們會省略不寫。
  5. 當指數時,我們有時會稱平方
  6. 當指數時,我們有時會稱立方

如:在中,

  • 的底數為
  • 的指數為
  • 稱作「七的四次方」。

有時人們也會將用「a^n」這樣的形式表示。

底數為正整數[編輯]

底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以次。

如:

1的任意整數次方都是1[註 2]

另見:

底數為0[編輯]

0的任意正整數次方都是0[註 3]

底數為負整數[編輯]

底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以次。

如:

但是必須注意:

  1. 意義不相同,相反數
  2. -1的偶數次方為1,-1的奇數次方為-1。
  3. 當指數為奇數時,答案為負數。(即)
  4. 當指數為偶數時,答案為正數。(即)

底數為小數[編輯]

底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以次。

如:

但是必須注意:

  1. 當底數時,愈大,的值就愈
  2. 當底數時,愈大,的值就愈

底數為分數[編輯]

底數為分數的指數運算有兩種算法:

  1. 直接將分數乘以次。
  2. 先將分子乘以次得到,再將分母乘以次得到,答案就是

如:

  1. 因為,所以

但是必須注意:

  1. 可能會與的意義混淆,所以分數的次方需要先加上小括號,寫成
  2. 帶分數必須先換成假分數再作次方的運算。如
  3. 當底數時,愈大,的值就愈
  4. 當底數時,愈大,的值就愈

指數與四則運算[編輯]

在數學式的運算中,有指數必須先算。 如:,而不是

指數律[編輯]

底下算式中,是隨意兩個數[註 4]是兩個正整數,則:

  1. ()
  2. ()[註 5][註 6]

指數為0[編輯]

除了0之外,我們定義任意數的零次方為1,即[註 7]

使用計算機計算指數[編輯]

在工程計算機會有「」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式,在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「」→「指數」,不過還是要依據計算機功能來決定。

例如要算就依序按下「」→「」→「」即可得到螢幕顯示

如果你只有傳統計算機,你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「」→「底數」→「」→→「」,按「」的次數取決於指數數字,要按下「指數」次。

例如要算就依序按下「」→「」→「」→「」→「」→「」(共次「」)即可得到螢幕顯示

因為螢幕顯示的數字具有上限的限制,故有時計算的結果為近似值。如「」實際上是「」,但用計算機計算「」可能會出現「」或「」的字樣。那這代表的意思為何?我們會在科學記號做進一步的說明。

指數的應用[編輯]

  • 林多紙草書第79題[課外連結 1]
  • 草履蟲的無性生殖[課外連結 2]。在恰當的環境下,每次分裂1隻可以分裂成2隻,再一次分裂就會從2隻變4隻,再一次分裂就會從4隻變8隻,……,所以經過次分裂,原本1隻草履蟲會變成隻草履蟲。
  • 如果能夠摺一張厚度毫米的紙次,那麼就可以抵達月球。

課外補充:指數為負整數[編輯]

我們知道若,則。那麼根據指數律第2條(),我們知道,又因為,所以自然的,我們定義(當然,)。

而利用指數律第4條,你會發現,所以有時也會定義()。[註 8][註 9]

註釋[編輯]

  1. 在國中階段只討論指數為正整數與0的情況(10是例外,有討論10的整數次方)。
  2. 因為1自己乘幾次都是1。
  3. 因為0自己乘幾次都是0。
  4. 部分要求的原因是因為不能除以0。
  5. 另外常見的形式為()。
  6. 為什麼底數為分數可以有第二個算法的原因。
  7. 依照指數律觀點來看,,又是本來就成立的式子,所以。不定義的原因在這裡,因為不能除以0。
  8. 倒數
  9. 這條通常用於分數。要計算,只要算即可。

課外連結[編輯]

  1. 世界第一題趣味數學(五夢網)
  2. 草履蟲(維基百科)

更多資料[編輯]

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