微积分学/导数的概念

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定义[编辑]

一般定义[编辑]

设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量处取得增量(点仍在该邻域内)时,相应地函数取得增量;如果之比当时的极限存在,则称函数在点可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即

也可记作

若将一点扩展成函数在其定义域包含的某开区间内每一个点,那么函数开区间内可导,这时对于内每一个确定的值,都对应着的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数的导函数,记作:或者

导函数的定义表达式为:

值得注意的是,导数是一个数,是指函数在点处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点。

几何意义[编辑]

Derivative.jpg

如右图所示,设为曲线上的一个定点,为曲线上的一个动点。当沿曲线逐渐趋向于点时,并且割线的极限位置存在,则称为曲线在处的切线。

若曲线为一函数的图像,那么割线的斜率为:

处的切线,即的极限位置存在时,此时,则的斜率为:

上式与一般定义中的导数定义是完全相同,则,故导数的几何意义即曲线在点处切线的斜率。

函数可导的条件[编辑]

如果一个函数定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是:函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件极限存在,它的左右极限存在且相等)推导而来:

上式中,后两个式子可以定义为函数在处的左右导数:

左导数:
右导数:

用两个函数的例子来说明函数可导的条件。

sgn函数,符号函数

1.上面这个符号函数在处可导吗?

绝对值函数

2.上面这个绝对值函数在处可导吗?

以上两个函数都是在定义域内连续的函数,由此就可以得出一个结论:连续的函数不一定处处可导。

处处可导的函数一定处处连续

导数的求导法则[编辑]

在解决函数的导数问题上,利用定义是在过于麻烦。故利用定义来引申出几个基本的求导法则,以利于更好地解决各类求导的问题。

四则运算的求导法则[编辑]

求导法则
1
2
3

特别地,对于常数

4
5

以上法则的证明中,对于1,可以利用极限的运算法则验证;对于2,可以直接使用导数定义证明,证明如下:

  • 证明

复合函数求导[编辑]

求导法则
1

反函数的求导[编辑]

设函数的某个邻域内连续,严格单调,且在可导而且成立。则它的反函数可导,且有:
或者

我们可以用一个例子来说明:试求函数的导函数。

的反函数,且开区间上严格单调、可导,且因此由反函数求导法则可得:在对应区间内有:

参数方程和极坐标方程的求导[编辑]

对于参数方程 ,其中可导,且严格单调(?),,根据复合函数求导法则和反函数求导法则可得参数方程的导数为:

对于极坐标方程,根据参数方程的求导法则可得极坐标方程的导数为:

隐函数的求导[编辑]

  • 有关隐函数的定义,参见隐函数

隐函数的求导方法的基本思想是要把方程中的看作的函数,方程两端对求导,然后再解出隐函数的导数

给出一个例子来进一步说明:
试求由方程所确定的关于的隐函数的导数,其中
解:
方程的两边同时对求导得:

  • 通过例题,应当注意方程两边求导的对象是,而是用表示的,相当于一个的复合函数,故根据复合函数的求导法则:。本题中

高阶导数[编辑]

参数方程的高阶求导

对于参数方程,其中二阶可导,且,则由,有


基本函数的导数[编辑]

基本导数公式
1
2
3
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5
6
7
8
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12 其中
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导数的应用[编辑]

物理学几何学经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。例如,在物理学中,速度被定义为位置函数的导数,即:;而加速度被定义为速度函数的导数,即:。另外,导数还可以表示曲线在一点的斜率,以及经济学中的边际弹性

相关内容[编辑]

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