微積分學/導數的概念

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定義[編輯]

一般定義[編輯]

設函數在點的某個鄰域內有定義,當自變量處取得增量(點仍在該鄰域內)時,相應地函數取得增量;如果之比當時的極限存在,則稱函數在點可導,並稱這個極限為函數在點處的導數,記為,即

也可記作

若將一點擴展成函數在其定義域包含的某開區間內每一個點,那麼函數開區間內可導,這時對於內每一個確定的值,都對應着的一個確定的導數,如此一來每一個導數就構成了一個新的函數,這個函數稱作原函數的導函數,記作:或者

導函數的定義表達式為:

值得注意的是,導數是一個數,是指函數在點處導函數的函數值。但通常也可以說導函數為導數,其區別僅在於一個點還是連續的點。

幾何意義[編輯]

Derivative.jpg

如右圖所示,設為曲線上的一個定點,為曲線上的一個動點。當沿曲線逐漸趨向於點時,並且割線的極限位置存在,則稱為曲線在處的切線。

若曲線為一函數的圖像,那麼割線的斜率為:

處的切線,即的極限位置存在時,此時,則的斜率為:

上式與一般定義中的導數定義是完全相同,則,故導數的幾何意義即曲線在點處切線的斜率。

函數可導的條件[編輯]

如果一個函數定義域為全體實數,即函數在上都有定義,那麼該函數是不是在定義域上處處可導呢?答案是否定的。函數在定義域中一點可導需要一定的條件是:函數在該點的左右兩側導數都存在且相等。這實際上是按照極限存在的一個充要條件極限存在,它的左右極限存在且相等)推導而來:

上式中,後兩個式子可以定義為函數在處的左右導數:

左導數:
右導數:

用兩個函數的例子來說明函數可導的條件。

sgn函數,符號函數

1.上面這個符號函數在處可導嗎?

絕對值函數

2.上面這個絕對值函數在處可導嗎?

以上兩個函數都是在定義域內連續的函數,由此就可以得出一個結論:連續的函數不一定處處可導。

處處可導的函數一定處處連續

導數的求導法則[編輯]

在解決函數的導數問題上,利用定義是在過於麻煩。故利用定義來引申出幾個基本的求導法則,以利於更好地解決各類求導的問題。

四則運算的求導法則[編輯]

求導法則
1
2
3

特別地,對於常數

4
5

以上法則的證明中,對於1,可以利用極限的運算法則驗證;對於2,可以直接使用導數定義證明,證明如下:

  • 證明

複合函數求導[編輯]

求導法則
1

反函數的求導[編輯]

設函數的某個鄰域內連續,嚴格單調,且在可導而且成立。則它的反函數可導,且有:
或者

我們可以用一個例子來說明:試求函數的導函數。

的反函數,且開區間上嚴格單調、可導,且因此由反函數求導法則可得:在對應區間內有:

參數方程和極坐標方程的求導[編輯]

對於參數方程 ,其中可導,且嚴格單調(?),,根據複合函數求導法則和反函數求導法則可得參數方程的導數為:

對於極坐標方程,根據參數方程的求導法則可得極坐標方程的導數為:

隱函數的求導[編輯]

  • 有關隱函數的定義,參見隱函數

隱函數的求導方法的基本思想是要把方程中的看作的函數,方程兩端對求導,然後再解出隱函數的導數

給出一個例子來進一步說明:
試求由方程所確定的關於的隱函數的導數,其中
解:
方程的兩邊同時對求導得:

  • 通過例題,應當注意方程兩邊求導的對象是,而是用表示的,相當於一個的複合函數,故根據複合函數的求導法則:。本題中

高階導數[編輯]

參數方程的高階求導

對於參數方程,其中二階可導,且,則由,有


基本函數的導數[編輯]

基本導數公式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 其中
13
14
15
16

導數的應用[編輯]

物理學幾何學經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。例如,在物理學中,速度被定義為位置函數的導數,即:;而加速度被定義為速度函數的導數,即:。另外,導數還可以表示曲線在一點的斜率,以及經濟學中的邊際彈性

相關內容[編輯]

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