微积分学/极限/习题

基础题

1. $\underset{x\to 2}{lim}(4x^2-3x+1)$…………答案：$11$
2. $\underset{x\to 5}{lim}{x}^2$…………答案：$25$

解答

单侧极限

1. $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{x^3+x^2}{x^3+2x^2}$…………答案：$\frac{1}{2}$
2. $\underset{x\to 7^{-}}{lim}(|x^2+x|-x)$…………答案：$49$
3. $\underset{x\to -1^{-}}{lim}\sqrt{1-x^2}$…………答案：$0$
4. $\underset{x\to -1^{+}}{lim}\sqrt{1-x^2}$…………答案：不存在

解答

双侧极限

1. $\underset{x\to -1}{lim}\frac{1}{x-1}$…………答案：$-\frac{1}{2}$
2. $\underset{x\to 4}{lim}\frac{1}{x-4}$…………答案：不存在
3. $\underset{x\to 2}{lim}\frac{1}{x-2}$…………答案：不存在
4. $\underset{x\to -3}{lim}\frac{x^2-9}{x+3}$…………答案：$-6$
5. $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x-3}$…………答案：$6$
6. $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x+1}$…………答案：$0$
7. $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^3+1}{x+1}$…………答案：$3$
8. $\underset{x\to 4}{lim}\frac{x^2+5x-36}{x^2-16}$…………答案：$\frac{13}{8}$
9. $\underset{x\to 25}{lim}\frac{x-25}{\sqrt{x}-5}$…………答案：$10$
10. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x|}{x}$…………答案：不存在
11. $\underset{x\to 2}{lim}\frac{1}{(x-2{)}^2}$…………答案：$+\mathrm{\infty }$
12. $\underset{x\to 3}{lim}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x-3}$…………答案：不存在
13. $\underset{x\to -2}{lim}\frac{3x^2-8x-3}{2x^2-18}$…………答案：$-\frac{5}{2}$
14. $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x^2-2x+1}$…………答案：$9$
15. $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x+3}{x^2-9}$…………答案：不存在
16. $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x+1}{x^2+x}$…………答案：$-1$
17. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{1}{x^2+1}$…………答案：$\frac{1}{2}$
18. $\underset{x\to 1}{lim}(x^2+5x-\frac{1}{2-x})$…………答案：$5$
19. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x^2+2x-3}$…………答案：$\frac{1}{2}$
20. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{5x}{x^2+2x-3}$…………答案：不存在

解答

无穷极限

1. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x+\pi }{x^2+3x+2}$…………答案：$0$
2. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+2x+1}{3x^2+1}$…………答案：$\frac{1}{3}$
3. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2+x}{2x^2-15}$…………答案：$\frac{3}{2}$
4. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(3x^2-2x+1)$…………答案：$+\mathrm{\infty }$
5. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2-32}{x^3-64}$…………答案：$0$
6. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}6$…………答案：$6$
7. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2+4x}{x^4+2}$…………答案：$0$
8. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+3x^2+1}{2x^2+3}$…………答案：$\frac{3}{2}$
9. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3-3x^2+1}{3x^2+x+5}$…………答案：$-\mathrm{\infty }$
10. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+2}{x^3-2}$…………答案：$0$

解答

分段函数极限

1. $f(x)=\{\begin{array}{cc}(x-2{)}^2& \text{, }x<2\\ x-3& \text{, }x\ge 2\end{array}$
   1. $\underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)$…………答案：$0$
   2. $\underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)$…………答案：$-1$
   3. $\underset{x\to 2}{lim}f(x)$…………答案：不存在
2. $g(x)=\{\begin{array}{cc}-2x+1& \text{, }x\le 0\\ x+1& \text{, }0<x<4\\ x^2+2& \text{, }x\ge 4\end{array}$
   1. $\underset{x\to 4^{+}}{lim}g(x)$…………答案：$18$
   2. $\underset{x\to 4^{-}}{lim}g(x)$…………答案：$5$
   3. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}g(x)$…………答案：$1$
   4. $\underset{x\to 0^{-}}{lim}g(x)$…………答案：$1$
   5. $\underset{x\to 0}{lim}g(x)$…………答案：$1$
   6. $\underset{x\to 1}{lim}g(x)$…………答案：$2$
3. $h(x)=\{\begin{array}{cc}2x-3& \text{, }x<2\\ 8& \text{, }x=2\\ -x+3& \text{, }x>2\end{array}$
   1. $\underset{x\to 0}{lim}h(x)$…………答案：$-3$
   2. $\underset{x\to 2^{-}}{lim}h(x)$…………答案：$1$
   3. $\underset{x\to 2^{+}}{lim}h(x)$…………答案：$1$
   4. $\underset{x\to 2}{lim}h(x)$…………答案：$1$

解答