微積分學/極限/習題

基礎題

1. $\lim _{x\to 2}{\Big (}4x^{2}-3x+1{\Big )}$…………答案：$11$
2. $\lim _{x\to 5}x^{2}$…………答案：$25$

解答

單側極限

1. $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {x^{3}+x^{2}}{x^{3}+2x^{2}}}$…………答案：${\frac {1}{2}}$
2. $\lim _{x\to 7^{-}}{\Big (}|x^{2}+x|-x{\Big )}$…………答案：$49$
3. $\lim _{x\to -1^{-}}{\sqrt {1-x^{2}}}$…………答案：$0$
4. $\lim _{x\to -1^{+}}{\sqrt {1-x^{2}}}$…………答案：不存在

解答

雙側極限

1. $\lim _{x\to -1}{\frac {1}{x-1}}$…………答案：$-{\frac {1}{2}}$
2. $\lim _{x\to 4}{\frac {1}{x-4}}$…………答案：不存在
3. $\lim _{x\to 2}{\frac {1}{x-2}}$…………答案：不存在
4. $\lim _{x\to -3}{\frac {x^{2}-9}{x+3}}$…………答案：$-6$
5. $\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}$…………答案：$6$
6. $\lim _{x\to -1}{\frac {x^{2}+2x+1}{x+1}}$…………答案：$0$
7. $\lim _{x\to -1}{\frac {x^{3}+1}{x+1}}$…………答案：$3$
8. $\lim _{x\to 4}{\frac {x^{2}+5x-36}{x^{2}-16}}$…………答案：${\frac {13}{8}}$
9. $\lim _{x\to 25}{\frac {x-25}{{\sqrt {x}}-5}}$…………答案：$10$
10. $\lim _{x\to 0}{\frac {|x|}{x}}$…………答案：不存在
11. $\lim _{x\to 2}{\frac {1}{(x-2)^{2}}}$…………答案：$+\infty$
12. $\lim _{x\to 3}{\frac {\sqrt {x^{2}+16}}{x-3}}$…………答案：不存在
13. $\lim _{x\to -2}{\frac {3x^{2}-8x-3}{2x^{2}-18}}$…………答案：$-{\frac {5}{2}}$
14. $\lim _{x\to 2}{\frac {x^{2}+2x+1}{x^{2}-2x+1}}$…………答案：$9$
15. $\lim _{x\to 3}{\frac {x+3}{x^{2}-9}}$…………答案：不存在
16. $\lim _{x\to -1}{\frac {x+1}{x^{2}+x}}$…………答案：$-1$
17. $\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+1}}$…………答案：${\frac {1}{2}}$
18. $\lim _{x\to 1}\left(x^{2}+5x-{\frac {1}{2-x}}\right)$…………答案：$5$
19. $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x^{2}+2x-3}}$…………答案：${\frac {1}{2}}$
20. $\lim _{x\to 1}{\frac {5x}{x^{2}+2x-3}}$…………答案：不存在

解答

無窮極限

1. $\lim _{x\to \infty }{\frac {-x+\pi }{x^{2}+3x+2}}$…………答案：$0$
2. $\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}+2x+1}{3x^{2}+1}}$…………答案：${\frac {1}{3}}$
3. $\lim _{x\to -\infty }{\frac {3x^{2}+x}{2x^{2}-15}}$…………答案：${\frac {3}{2}}$
4. $\lim _{x\to -\infty }{\Big (}3x^{2}-2x+1{\Big )}$…………答案：$+\infty$
5. $\lim _{x\to \infty }{\frac {2x^{2}-32}{x^{3}-64}}$…………答案：$0$
6. $\lim _{x\to \infty }6$…………答案：$6$
7. $\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+4x}{x^{4}+2}}$…………答案：$0$
8. $\lim _{x\to -\infty }{\frac {2x+3x^{2}+1}{2x^{2}+3}}$…………答案：${\frac {3}{2}}$
9. $\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}-3x^{2}+1}{3x^{2}+x+5}}$…………答案：$-\infty$
10. $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}+2}{x^{3}-2}}$…………答案：$0$

解答

分段函數極限

1. $f(x)={\begin{cases}(x-2)^{2}&{\text{, }}x<2\\x-3&{\text{, }}x\geq 2\end{cases}}$
   1. $\lim _{x\to 2^{-}}f(x)$…………答案：$0$
   2. $\lim _{x\to 2^{+}}f(x)$…………答案：$-1$
   3. $\lim _{x\to 2}f(x)$…………答案：不存在
2. $g(x)={\begin{cases}-2x+1&{\text{, }}x\leq 0\\x+1&{\text{, }}0<x<4\\x^{2}+2&{\text{, }}x\geq 4\end{cases}}$
   1. $\lim _{x\to 4^{+}}g(x)$…………答案：$18$
   2. $\lim _{x\to 4^{-}}g(x)$…………答案：$5$
   3. $\lim _{x\to 0^{+}}g(x)$…………答案：$1$
   4. $\lim _{x\to 0^{-}}g(x)$…………答案：$1$
   5. $\lim _{x\to 0}g(x)$…………答案：$1$
   6. $\lim _{x\to 1}g(x)$…………答案：$2$
3. $h(x)={\begin{cases}2x-3&{\text{, }}x<2\\8&{\text{, }}x=2\\-x+3&{\text{, }}x>2\end{cases}}$
   1. $\lim _{x\to 0}h(x)$…………答案：$-3$
   2. $\lim _{x\to 2^{-}}h(x)$…………答案：$1$
   3. $\lim _{x\to 2^{+}}h(x)$…………答案：$1$
   4. $\lim _{x\to 2}h(x)$…………答案：$1$

解答