微积分学/积分审敛法

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积分审敛法[编辑]

积分审敛法

设级数,若在区间上连续递减,则

  1. 收敛,则收敛
  2. 发散,则发散

积分审敛法实际上是比较审敛法的特例。

Righthand-Riemann-Sum-Integral-Test.svg

如图,曲线为的图像,各矩形面积之和为,显然小于,因此若收敛,则收敛。

Lefthand-Reimann-Sum-Integral-Test.svg

如图,曲线为的图像,各矩形面积之和为,显然大于,因此若发散,则发散。

例1[编辑]

对以下级数运用积分审敛法

解答[编辑]

反常积分得为1,收敛,故级数收敛。

例2[编辑]

对以下级数运用积分审敛法

解答[编辑]

不满足递减要求。但实际上由极限审敛法便可得级数发散。

例3[编辑]

对以下级数运用积分审敛法

解答[编辑]

只在递减,因此级数可改写为,对后一项反常积分得,收敛,故级数收敛。