設級數 S = ∑ n = j ∞ s n {\displaystyle S=\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}} ，若 s ( n ) {\displaystyle s(n)} 在區間 [ j , ∞ ) {\displaystyle [j,\infty )} 上連續遞減，則
積分審斂法實際上是比較審斂法的特例。
如圖，曲線為 s ( n ) {\displaystyle s(n)} 的圖像，各矩形面積之和為 ∑ n = j ∞ s n {\displaystyle \sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}} ，顯然 ∑ n = j ∞ s n {\displaystyle \sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}} 小於 ∫ j ∞ s ( n ) d n {\displaystyle \int _{j}^{\infty }{s(n)dn}} ，因此若 ∫ j ∞ s ( n ) d n {\displaystyle \int _{j}^{\infty }{s(n)dn}} 收斂，則 S {\displaystyle S} 收斂。
如圖，曲線為 s ( n ) {\displaystyle s(n)} 的圖像，各矩形面積之和為 ∑ n = j ∞ s n {\displaystyle \sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}} ，顯然 ∑ n = j ∞ s n {\displaystyle \sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}} 大於 ∫ j ∞ s ( n ) d n {\displaystyle \int _{j}^{\infty }{s(n)dn}} ，因此若 ∫ j ∞ s ( n ) d n {\displaystyle \int _{j}^{\infty }{s(n)dn}} 發散，則 S {\displaystyle S} 發散。
對以下級數運用積分審斂法
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
反常積分得 lim n → ∞ − 1 n − − 1 ( 1 ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {-1}{n}}-{\frac {-1}{(1)}}} 為1，收斂，故級數收斂。
∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}+1}{n}}}
n 2 + 1 n {\displaystyle {\frac {n^{2}+1}{n}}} 不滿足遞減要求。但實際上由極限審斂法便可得級數發散。
∑ n = 1 ∞ 1 ( n − 3 ) 2 + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}}
1 ( n − 3 ) 2 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}} 只在 [ 3 , + ∞ ) {\displaystyle [3,+\infty )} 遞減，因此級數可改寫為 ∑ n = 1 2 1 ( n − 3 ) 2 + 1 + ∑ n = 3 ∞ 1 ( n − 3 ) 2 + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2}{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}+\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}} ，對後一項反常積分得 lim n → ∞ arctan ( n − 3 ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\arctan(n-3)} 為 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} ，收斂，故級數收斂。
