设级数 S = ∑ n = j ∞ s n {\displaystyle S=\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}} ，若 s ( n ) {\displaystyle s(n)} 在区间 [ j , ∞ ) {\displaystyle [j,\infty )} 上连续递减，则
积分审敛法实际上是比较审敛法的特例。
如图，曲线为 s ( n ) {\displaystyle s(n)} 的图像，各矩形面积之和为 ∑ n = j ∞ s n {\displaystyle \sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}} ，显然 ∑ n = j ∞ s n {\displaystyle \sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}} 小于 ∫ j ∞ s ( n ) d n {\displaystyle \int _{j}^{\infty }{s(n)dn}} ，因此若 ∫ j ∞ s ( n ) d n {\displaystyle \int _{j}^{\infty }{s(n)dn}} 收敛，则 S {\displaystyle S} 收敛。
如图，曲线为 s ( n ) {\displaystyle s(n)} 的图像，各矩形面积之和为 ∑ n = j ∞ s n {\displaystyle \sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}} ，显然 ∑ n = j ∞ s n {\displaystyle \sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}} 大于 ∫ j ∞ s ( n ) d n {\displaystyle \int _{j}^{\infty }{s(n)dn}} ，因此若 ∫ j ∞ s ( n ) d n {\displaystyle \int _{j}^{\infty }{s(n)dn}} 发散，则 S {\displaystyle S} 发散。
对以下级数运用积分审敛法
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
反常积分得 lim n → ∞ − 1 n − − 1 ( 1 ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {-1}{n}}-{\frac {-1}{(1)}}} 为1，收敛，故级数收敛。
∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}+1}{n}}}
n 2 + 1 n {\displaystyle {\frac {n^{2}+1}{n}}} 不满足递减要求。但实际上由极限审敛法便可得级数发散。
∑ n = 1 ∞ 1 ( n − 3 ) 2 + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}}
1 ( n − 3 ) 2 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}} 只在 [ 3 , + ∞ ) {\displaystyle [3,+\infty )} 递减，因此级数可改写为 ∑ n = 1 2 1 ( n − 3 ) 2 + 1 + ∑ n = 3 ∞ 1 ( n − 3 ) 2 + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2}{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}+\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}} ，对后一项反常积分得 lim n → ∞ arctan ( n − 3 ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\arctan(n-3)} 为 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} ，收敛，故级数收敛。
