概率论

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随机事件及其概率[编辑]

在概率论里必须先定义一个可测空间

中;
如果一个集合中,那么它的补集也在中;
如果有可数个集合都在中,那么它们的并集也在中。

用数学语言来表示,就是

记号称为一个可测空间。称为概率空间,如果是一个概率测度,也就是说它必须符合

  • 空集的测度为零:
  • 可加性:若中可数个两两不交的集合的序列,则所有的并集的测度,等于每个的测度之总和:
  • 空集的测度为零:
  • 值在0和1之间并且

随机变量是一个可测的函数。

概率空间的定义符合我们对日常所说的概率的公理。我们称为样本空间,为事件集合,其子集为随机事件。 以扔硬币为例:如果是一个有两面的硬币。

。假设我们赌“”,如果赢的话可以得到一块钱,输的话我们就输一块钱,这种情况可以用一个随机变量来表示。

如果这个硬币没有做过手脚 那么随机事件 的概率 , 随机事件的概率 . 符合可加性。

如果我们同时扔两个硬币

一 随机事件[编辑]

§1几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验;
(1)试验可在相同条件下重复进行;
(2)试验的可能结果不止一个,且所有可能结果是已知的;
(3)每次试验哪个结果出现是未知的;随机试验以后简称为试验,并常记为E。

例如:
  • E1:掷一骰子,观察出现的总数;
  • E2:上抛硬币两次,观察正反面出现的情况;
  • E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。

2、随机事件:在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为

  例如:在E1中,A表示“掷出2点”,B表示“掷出偶数点”均为随机事件。

3、必然事件与不可能事件:每次试验必发生的事情称为必然事件,记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件,记为Φ。

  例如:在E1中,“掷出不大于6点”的事件便是必然事件,而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后,随机事件,必然事件和不可能事件统称为事件。

4、基本事件:试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

  例如,在E1中,“掷出1点”,“掷出2点”,……,“掷出6点”均为此试验的基本事件。
  由基本事件构成的事件称为复合事件,例如,在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。

5、样本空间:从集合观点看,称构成基本事件的元素为样本点,常记为.

  例如,在E1中,用数字表示掷出的点数,而由它们分别构成的单点集便是E1中的基本事件。在E2中,用表示正面,表示反面,此试验的样本点有,其基本事件便是显然,任何事件均为某些样本点构成的集合。
   例如, 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为。
   例如,
   在E1中,
   在E2中,
   在E3中,

§2事件间的关系与运算

  1、包含:“若事件的发生必导致事件发生,则称事件包含事件,记为或  。 
     例如,在E1中,令件,简称为积,记为  。
 例如,在E3中,即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中,令接到偶数次呼唤接到奇数次呼唤,则接到6的倍数次呼唤
 5、差:称事件发生但事件不发生的事件为的差事件简称为差,记为。
 例如,测量晶体管的参数值,令测得值不超过测得值不超过,则,测得值为
 6、互不相容:若事件与事件不能同时发生,即,则称是互不相容的。
 例如,观察某定义通路口在某时刻的红绿灯:若红灯亮绿灯亮,则便是互不相容的。
 7、对立:称事件A不发生的事件为的对立事件,记为  显然  ,