概率论

随机事件及其概率

在概率论里必须先定义一个可测空间

\Omega

在

{\mathcal {F}}

中；

如果一个集合

A

在

{\mathcal {F}}

中，那么它的补集

A^{c}

也在

{\mathcal {F}}

中；

如果有可数个集合

A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\cdots

都在

{\mathcal {F}}

中，那么它们的并集也在

{\mathcal {F}}

中。

用数学语言来表示，就是

\Omega \in {\mathcal {F}};

A\in {\mathcal {F}}\Rightarrow A^{c}\in {\mathcal {F}};

(\forall n\in \mathbb {N} ~~~A_{n}\in {\mathcal {F}})\Rightarrow \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {F}}.

记号 $\left(X,{\mathcal {F}}\right)$ 称为一个可测空间。 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 称为概率空间，如果 $P$ 是一个概率测度，也就是说它必须符合

空集的测度为零：

P(\emptyset )=0

。

$\sigma$ 可加性：若 $A_{1},A_{2},\cdots$ 为 ${\mathcal {F}}$ 中可数个两两不交的集合的序列，则所有 $A_{i}\$ 的并集的测度，等于每个 $A_{i}\$ 的测度之总和：

P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})

空集的测度为零：

\mu (\emptyset )=0

。

值在0和1之间并且

P(\Omega )=1

随机变量是一个 ${\mathcal {F}}$ 可测的函数。

概率空间的定义符合我们对日常所说的概率的公理。我们称 $\Omega$ 为样本空间， ${\mathcal {F}}$ 为事件集合，其子集为随机事件。以扔硬币为例：如果是一个有 $A,B$ 两面的硬币。

\Omega =\{A,B\}

。假设我们赌“

A

”，如果赢的话可以得到一块钱，输的话我们就输一块钱，这种情况可以用一个随机变量

X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}

来表示。

X(A)=1

，

X(B)=-1

如果这个硬币没有做过手脚那么随机事件 $A$ 的概率 $P(A)=P(X=-1)=0.5$ , 随机事件 $B$ 的概率 $P(B)=P(X=-1)=0.5$ . 符合 $\sigma$ 可加性。

如果我们同时扔两个硬币

\Omega =\{(A,A),(A,B),(B,A),(B,B)\}

一随机事件

§1几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；
（1）试验可在相同条件下重复进行；
（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；
（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。

例如： E1：掷一骰子，观察出现的总数； E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。

2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 $A,B,C,...$

  例如：在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。

3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。

  例如：在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。

4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

  例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
  由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。

5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为 $e$ .

  例如，在E1中，用数字 $1,2,...,6$ 表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集 $\left\{1\right\},\left\{2\right\},...,\left\{6\right\}$ 便是E1中的基本事件。在E2中，用 $H$ 表示正面， $T$ 表示反面，此试验的样本点有 $\left(H,H\right)$ ， $\left(H,T\right)$ ， $\left(T,H\right)$ ， $\left(T,T\right)$ ，其基本事件便是 $\left\{\left(H,H\right)\right\}$ ， $\left\{\left(H,T\right)\right\}$ ， $\left\{\left(T,H\right)\right\}$ ， $\left\{\left(T,T\right)\right\}$ 显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
   例如， 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为 $\left\{2,4,6\right\}$ 。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为 $\Omega$ 。
   例如，
   在E1中， $\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$ 
   在E2中， $\Omega =\left\{\left(H,H\right),\left(H,T\right),\left(T,H\right),\left(T,T\right)\right\}$ 
   在E3中， $\Omega =\left\{0,1,2,...\right\}$

§2事件间的关系与运算

  1、包含:“若事件 $A$ 的发生必导致事件 $B$ 发生，则称事件 $B$ 包含事件 $A$ ，记为或 $B$    $A$ 。 
     例如，在E1中，令件，简称为积，记为 $A$    $B$ 或 $AB$ 。
 例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令 $A=\{$ 接到偶数次呼唤 $\}$ ， $B=\{$ 接到奇数次呼唤 $\}$ ，则 $AB=\{$ 接到6的倍数次呼唤 $\}$ 
 5、差：称事件 $A$ 发生但事件 $B$ 不发生的事件为 $A$ 减 $B$ 的差事件简称为差，记为 $A-B$ 。
 例如，测量晶体管的 $\beta$ 参数值，令 $A=\{$ 测得 $\beta$ 值不超过 $50\}$ ， $B=\{$ 测得 $\beta$ 值不超过 $100\}$ ，则， $A-B=\phi$ ， $B-A=\{$ 测得 $\beta$ 值为 $50<\beta \leqslant 100\}$ 
 6、互不相容：若事件 $A$ 与事件 $B$ 不能同时发生，即 $AB=\phi$ ，则称 $A$ 与 $B$ 是互不相容的。
 例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若 $A=\{$ 红灯亮 $\}$ ， $B=\{$ 绿灯亮 $\}$ ，则 $A$ 与 $B$ 便是互不相容的。
 7、对立：称事件A不发生的事件为 $A$ 的对立事件，记为  显然  ， $A\cap B=\phi$

随机事件及其概率

一 随机事件

一随机事件