概率論

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隨機事件及其概率[編輯]

在概率論里必須先定義一個可測空間

中;
如果一個集合中,那麼它的補集也在中;
如果有可數個集合都在中,那麼它們的併集也在中。

用數學語言來表示,就是

記號稱為一個可測空間。稱為概率空間,如果是一個概率測度,也就是說它必須符合

  • 空集的測度為零:
  • 可加性:若中可數個兩兩不交的集合的序列,則所有的併集的測度,等於每個的測度之總和:
  • 空集的測度為零:
  • 值在0和1之間並且

隨機變量是一個可測的函數。

概率空間的定義符合我們對日常所說的概率的公理。我們稱為樣本空間,為事件集合,其子集為隨機事件。 以扔硬幣為例:如果是一個有兩面的硬幣。

。假設我們賭「」,如果贏的話可以得到一塊錢,輸的話我們就輸一塊錢,這種情況可以用一個隨機變量來表示。

如果這個硬幣沒有做過手腳 那麼隨機事件 的概率 , 隨機事件的概率 . 符合可加性。

如果我們同時扔兩個硬幣

一 隨機事件[編輯]

§1幾個概念 1、隨機實驗:滿足下列三個條件的試驗稱為隨機試驗;
(1)試驗可在相同條件下重複進行;
(2)試驗的可能結果不止一個,且所有可能結果是已知的;
(3)每次試驗哪個結果出現是未知的;隨機試驗以後簡稱為試驗,並常記為E。

例如:
  • E1:擲一骰子,觀察出現的總數;
  • E2:上拋硬幣兩次,觀察正反面出現的情況;
  • E3:觀察某電話交換台在某段時間內接到的呼喚次數。

2、隨機事件:在試驗中可能出現也可能不出現的事情稱為隨機事件:常記為

  例如:在E1中,A表示“掷出2点”,B表示“掷出偶数点”均为随机事件。

3、必然事件與不可能事件:每次試驗必發生的事情稱為必然事件,記為Ω。每次試驗都不可能發生的事情稱為不可能事件,記為Φ。

  例如:在E1中,“掷出不大于6点”的事件便是必然事件,而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后,随机事件,必然事件和不可能事件统称为事件。

4、基本事件:試驗中直接觀察到的最簡單的結果稱為基本事件。

  例如,在E1中,“掷出1点”,“掷出2点”,……,“掷出6点”均为此试验的基本事件。
  由基本事件构成的事件称为复合事件,例如,在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。

5、樣本空間:從集合觀點看,稱構成基本事件的元素為樣本點,常記為.

  例如,在E1中,用数字表示掷出的点数,而由它们分别构成的单点集便是E1中的基本事件。在E2中,用表示正面,表示反面,此试验的样本点有,其基本事件便是显然,任何事件均为某些样本点构成的集合。
   例如, 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为。
   例如,
   在E1中,
   在E2中,
   在E3中,

§2事件間的關係與運算

  1、包含:“若事件的发生必导致事件发生,则称事件包含事件,记为或  。 
     例如,在E1中,令件,简称为积,记为  。
 例如,在E3中,即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中,令接到偶数次呼唤接到奇数次呼唤,则接到6的倍数次呼唤
 5、差:称事件发生但事件不发生的事件为的差事件简称为差,记为。
 例如,测量晶体管的参数值,令测得值不超过测得值不超过,则,测得值为
 6、互不相容:若事件与事件不能同时发生,即,则称是互不相容的。
 例如,观察某定义通路口在某时刻的红绿灯:若红灯亮绿灯亮,则便是互不相容的。
 7、对立:称事件A不发生的事件为的对立事件,记为  显然  ,