機率論

隨機事件及其機率

在機率論里必須先定義一個可測空間

\Omega

在

{\mathcal {F}}

中；

如果一個集合

A

在

{\mathcal {F}}

中，那麼它的補集

A^{c}

也在

{\mathcal {F}}

中；

如果有可數個集合

A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\cdots

都在

{\mathcal {F}}

中，那麼它們的併集也在

{\mathcal {F}}

中。

用數學語言來表示，就是

\Omega \in {\mathcal {F}};

A\in {\mathcal {F}}\Rightarrow A^{c}\in {\mathcal {F}};

(\forall n\in \mathbb {N} ~~~A_{n}\in {\mathcal {F}})\Rightarrow \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {F}}.

記號 $\left(X,{\mathcal {F}}\right)$ 稱為一個可測空間。 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 稱為機率空間，如果 $P$ 是一個機率測度，也就是說它必須符合

空集的測度為零：

P(\emptyset )=0

。

$\sigma$ 可加性：若 $A_{1},A_{2},\cdots$ 為 ${\mathcal {F}}$ 中可數個兩兩不交的集合的序列，則所有 $A_{i}\$ 的併集的測度，等於每個 $A_{i}\$ 的測度之總和：

P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})

空集的測度為零：

\mu (\emptyset )=0

。

值在0和1之間並且

P(\Omega )=1

隨機變量是一個 ${\mathcal {F}}$ 可測的函數。

機率空間的定義符合我們對日常所說的機率的公理。我們稱 $\Omega$ 為樣本空間， ${\mathcal {F}}$ 為事件集合，其子集為隨機事件。以扔硬幣為例：如果是一個有 $A,B$ 兩面的硬幣。

\Omega =\{A,B\}

。假設我們賭「

A

」，如果贏的話可以得到一塊錢，輸的話我們就輸一塊錢，這種情況可以用一個隨機變量

X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}

來表示。

X(A)=1

，

X(B)=-1

如果這個硬幣沒有做過手腳那麼隨機事件 $A$ 的機率 $P(A)=P(X=-1)=0.5$ , 隨機事件 $B$ 的機率 $P(B)=P(X=-1)=0.5$ . 符合 $\sigma$ 可加性。

如果我們同時扔兩個硬幣

\Omega =\{(A,A),(A,B),(B,A),(B,B)\}

一隨機事件

§1幾個概念 1、隨機實驗:滿足下列三個條件的試驗稱為隨機試驗；
（1）試驗可在相同條件下重複進行；
（2）試驗的可能結果不止一個，且所有可能結果是已知的；
（3）每次試驗哪個結果出現是未知的；隨機試驗以後簡稱為試驗，並常記為E。

例如： E1：擲一骰子，觀察出現的總數； E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現的情況； E3：觀察某電話交換台在某段時間內接到的呼喚次數。

2、隨機事件：在試驗中可能出現也可能不出現的事情稱為隨機事件：常記為 $A,B,C,...$

  例如：在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。

3、必然事件與不可能事件：每次試驗必發生的事情稱為必然事件，記為Ω。每次試驗都不可能發生的事情稱為不可能事件，記為Φ。

  例如：在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。

4、基本事件：試驗中直接觀察到的最簡單的結果稱為基本事件。

  例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
  由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。

5、樣本空間：從集合觀點看，稱構成基本事件的元素為樣本點，常記為 $e$ .

  例如，在E1中，用数字 $1,2,...,6$ 表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集 $\left\{1\right\},\left\{2\right\},...,\left\{6\right\}$ 便是E1中的基本事件。在E2中，用 $H$ 表示正面， $T$ 表示反面，此试验的样本点有 $\left(H,H\right)$ ， $\left(H,T\right)$ ， $\left(T,H\right)$ ， $\left(T,T\right)$ ，其基本事件便是 $\left\{\left(H,H\right)\right\}$ ， $\left\{\left(H,T\right)\right\}$ ， $\left\{\left(T,H\right)\right\}$ ， $\left\{\left(T,T\right)\right\}$ 显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
   例如， 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为 $\left\{2,4,6\right\}$ 。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为 $\Omega$ 。
   例如，
   在E1中， $\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$ 
   在E2中， $\Omega =\left\{\left(H,H\right),\left(H,T\right),\left(T,H\right),\left(T,T\right)\right\}$ 
   在E3中， $\Omega =\left\{0,1,2,...\right\}$

§2事件間的關係與運算

  1、包含:“若事件 $A$ 的发生必导致事件 $B$ 发生，则称事件 $B$ 包含事件 $A$ ，记为或 $B$    $A$ 。 
     例如，在E1中，令件，简称为积，记为 $A$    $B$ 或 $AB$ 。
 例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令 $A=\{$ 接到偶数次呼唤 $\}$ ， $B=\{$ 接到奇数次呼唤 $\}$ ，则 $AB=\{$ 接到6的倍数次呼唤 $\}$ 
 5、差：称事件 $A$ 发生但事件 $B$ 不发生的事件为 $A$ 减 $B$ 的差事件简称为差，记为 $A-B$ 。
 例如，测量晶体管的 $\beta$ 参数值，令 $A=\{$ 测得 $\beta$ 值不超过 $50\}$ ， $B=\{$ 测得 $\beta$ 值不超过 $100\}$ ，则， $A-B=\phi$ ， $B-A=\{$ 测得 $\beta$ 值为 $50<\beta \leqslant 100\}$ 
 6、互不相容：若事件 $A$ 与事件 $B$ 不能同时发生，即 $AB=\phi$ ，则称 $A$ 与 $B$ 是互不相容的。
 例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若 $A=\{$ 红灯亮 $\}$ ， $B=\{$ 绿灯亮 $\}$ ，则 $A$ 与 $B$ 便是互不相容的。
 7、对立：称事件A不发生的事件为 $A$ 的对立事件，记为  显然  ， $A\cap B=\phi$

隨機事件及其機率

一 隨機事件

一隨機事件