機率論

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機率論

隨機事件及其機率

在機率論里必須先定義一個可測空間

$\Omega$在${\mathcal {F}}$中；

如果一個集合$A$在${\mathcal {F}}$中，那麼它的補集$A^{c}$也在${\mathcal {F}}$中；

如果有可數個集合$A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\cdots$都在${\mathcal {F}}$中，那麼它們的併集也在${\mathcal {F}}$中。

用數學語言來表示，就是

$\Omega \in {\mathcal {F}};$

$A\in {\mathcal {F}}\Rightarrow A^{c}\in {\mathcal {F}};$

$(\forall n\in \mathbb {N} ~~~A_{n}\in {\mathcal {F}})\Rightarrow \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {F}}.$

記號$\left(X,{\mathcal {F}}\right)$稱為一個可測空間。$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$稱為機率空間，如果$P$是一個機率測度，也就是說它必須符合

• 空集的測度為零：

$P(\emptyset )=0$。

• $\sigma$可加性：若$A_{1},A_{2},\cdots$為${\mathcal {F}}$中可數個兩兩不交的集合的序列，則所有$A_{i}\$的併集的測度，等於每個$A_{i}\$的測度之總和：

$P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$

• 空集的測度為零：

$\mu (\emptyset )=0$。

• 值在0和1之間並且

$P(\Omega )=1$

隨機變量是一個${\mathcal {F}}$可測的函數。

機率空間的定義符合我們對日常所說的機率的公理。我們稱$\Omega$為樣本空間，${\mathcal {F}}$為事件集合，其子集為隨機事件。 以扔硬幣為例：如果是一個有$A,B$兩面的硬幣。

$\Omega =\{A,B\}$。假設我們賭「$A$」，如果贏的話可以得到一塊錢，輸的話我們就輸一塊錢，這種情況可以用一個隨機變量$X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$來表示。

$X(A)=1$，$X(B)=-1$

如果這個硬幣沒有做過手腳 那麼隨機事件$A$ 的機率 $P(A)=P(X=-1)=0.5$, 隨機事件$B$的機率 $P(B)=P(X=-1)=0.5$. 符合$\sigma$可加性。

如果我們同時扔兩個硬幣

$\Omega =\{(A,A),(A,B),(B,A),(B,B)\}$

一 隨機事件

§1幾個概念 1、隨機實驗:滿足下列三個條件的試驗稱為隨機試驗；
（1）試驗可在相同條件下重複進行；
（2）試驗的可能結果不止一個，且所有可能結果是已知的；
（3）每次試驗哪個結果出現是未知的；隨機試驗以後簡稱為試驗，並常記為E。

例如： E1：擲一骰子，觀察出現的總數； E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現的情況； E3：觀察某電話交換台在某段時間內接到的呼喚次數。

2、隨機事件：在試驗中可能出現也可能不出現的事情稱為隨機事件：常記為$A,B,C,...$

  例如：在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。

3、必然事件與不可能事件：每次試驗必發生的事情稱為必然事件，記為Ω。每次試驗都不可能發生的事情稱為不可能事件，記為Φ。

  例如：在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。

4、基本事件：試驗中直接觀察到的最簡單的結果稱為基本事件。

  例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
  由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。

5、樣本空間：從集合觀點看，稱構成基本事件的元素為樣本點，常記為$e$.

  例如，在E1中，用数字$1,2,...,6$表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集$\left\{1\right\},\left\{2\right\},...,\left\{6\right\}$便是E1中的基本事件。在E2中，用$H$表示正面，$T$表示反面，此试验的样本点有$\left(H,H\right)$，$\left(H,T\right)$，$\left(T,H\right)$，$\left(T,T\right)$，其基本事件便是$\left\{\left(H,H\right)\right\}$，$\left\{\left(H,T\right)\right\}$，$\left\{\left(T,H\right)\right\}$，$\left\{\left(T,T\right)\right\}$显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
   例如， 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为$\left\{2,4,6\right\}$。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为$\Omega$。
   例如，
   在E1中，$\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$
   在E2中，$\Omega =\left\{\left(H,H\right),\left(H,T\right),\left(T,H\right),\left(T,T\right)\right\}$
   在E3中，$\Omega =\left\{0,1,2,...\right\}$

§2事件間的關係與運算

  1、包含:“若事件$A$的发生必导致事件$B$发生，则称事件$B$包含事件$A$，记为或$B$  $A$。 
     例如，在E1中，令件，简称为积，记为$A$  $B$或$AB$。
 例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令$A=\{$接到偶数次呼唤$\}$，$B=\{$接到奇数次呼唤$\}$，则$AB=\{$接到6的倍数次呼唤$\}$
 5、差：称事件$A$发生但事件$B$不发生的事件为$A$减$B$的差事件简称为差，记为$A-B$。
 例如，测量晶体管的$\beta$参数值，令$A=\{$测得$\beta$值不超过$50\}$，$B=\{$测得$\beta$值不超过$100\}$，则，$A-B=\phi$，$B-A=\{$测得$\beta$值为$50<\beta \leqslant 100\}$
 6、互不相容：若事件$A$与事件$B$不能同时发生，即$AB=\phi$，则称$A$与$B$是互不相容的。
 例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若$A=\{$红灯亮$\}$，$B=\{$绿灯亮$\}$，则$A$与$B$便是互不相容的。
 7、对立：称事件A不发生的事件为$A$的对立事件，记为  显然  ，$A\cap B=\phi$