複數(Complex number),是一種「複合的數」,由實數和虛數單位
所組成。所有的複數都可表達成
。
- 解方程:

從以上一元二次方程的判別式
中,我們可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數,大概答至這裏便可了。若果你學了虛數,又應怎樣答呢?
你應答
或
,其中
是常數,其值為
,稱為虛數單位。
如上題:判別式=
,
,
可記做:
,
在古代,數學的應用大多用不着複數,因此人們並沒有對複數進行研究。


,其中

切記以下的計法不正確:
。
只能應用於
時,因為負數的開方是不連續的。
的高次方會不斷作以下的循環:








- ...
若
是整數,試計算以下的值:




所有複數都可以表示成
,其中
是實數。
稱為實部,而
稱為虛部。例如
的實部就是
,虛部是
。
一個複數
的軛(Conjugates)是
,
的軛就是
。如果某個複數是一條二次方程的根,其軛就是另一個根。例如
的根就是
和
。
複數
的軛寫作
。複數和其軛相乘,即
,是一個實數。將複數和軛相加,
,亦是一個實數,是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減,
,會得到其虛部的兩倍。
稱為
的模或絕對值。
在四則運算上,複數運算和一般運算無甚差異:
- 加、減法:實部加實部,虛部加虛部:

- 乘法:

- 除法:可將分母「實數化」,方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分:

例1:
例2:求
之值。
,
要找一個複數的開
次冪,可以先求
的展開式,再對應欲開
次冪的複數的虛部和實數求解。
例:
,求
。



解方程得
或
,因此,
或
參見#冪、對數的計算。
本來卡氏座標要有兩個座標來表示位置,當有了複數後我們只需要一個複數就可以表示座標上的位置,用這樣方式表示座標平面稱為復座標或復平面。復平面由一實軸和虛軸組成。
等式
称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula)。
當x為π時,
这是一道被誉为美妙无比的式子,因等式将数学内五个极重要的数:
,
,
,1,0,连起来.
复数向量是表示在復平面上的向量
向量z=
在實軸上的正射影長為a,在虛軸上的正射影長為b
長度为
- 1

- -1
