複數

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複數(Complex number),是一種「複合的數」,由實數和虛數單位所組成。所有的複數都可表達成

虛數單位[编辑]

為何需要虛數單位[编辑]

  • 解方程:

從以上一元二次方程的判別式中,我們可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數,大概答至這裏便可了。若果你學了虛數,又應怎樣答呢?

你應答,其中是常數,其值為,稱為虛數單位

如上題:判別式=,

可記做:,

在古代,數學的應用大多用不着複數,因此人們並沒有對複數進行研究。

運算[编辑]

,其中

切記以下的計法不正確:

只能應用於時,因為負數的開方是不連續的。

的高次方會不斷作以下的循環:



...

練習[编辑]

是整數,試計算以下的值:

複數的表示:實部、虛部、軛、模[编辑]

所有複數都可以表示成,其中是實數。稱為實部,而稱為虛部。例如的實部就是,虛部是

一個複數(Conjugates)是的軛就是。如果某個複數是一條二次方程的根,其軛就是另一個根。例如的根就是

複數的軛寫作。複數和其軛相乘,即,是一個實數。將複數和軛相加,,亦是一個實數,是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減,,會得到其虛部的兩倍。 稱為絕對值

練習[编辑]

運算[编辑]

四則運算[编辑]

在四則運算上,複數運算和一般運算無甚差異:

  • 加、減法:實部加實部,虛部加虛部:
  • 乘法:
  • 除法:可將分母「實數化」,方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分:

例1:

例2:求之值。

開方[编辑]

要找一個複數的開次冪,可以先求的展開式,再對應欲開次冪的複數的虛部和實數求解。

例:,求

解方程得,因此,

冪、對數[编辑]

參見#冪、對數的計算

複數平面[编辑]

有序對[编辑]

單位圓[编辑]

歐拉公式[编辑]

等式称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula)。 當x為π時, 这是一道被誉为美妙无比的式子,因等式将数学内五个极重要的数:e,i,π,1,0,连起来.

冪、對數的計算[编辑]

棣美弗公式[编辑]

幾何上的應用[编辑]

向量[编辑]

复数的向量为z=根号(a^2+b^2)

變換[编辑]

位移[编辑]

旋轉[编辑]

例子[编辑]

凡·奧貝爾定理的證明[编辑]

高斯整數、艾森斯坦整數[编辑]

質數[编辑]

練習解答[编辑]

練習一[编辑]

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