复数

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复数(Complex number),是一种“复合的数”,由实数和虚数单位所组成。所有的复数都可表达成

虚数单位[编辑]

为何需要虚数单位[编辑]

  • 解方程:

从以上一元二次方程的判别式中,我们可以知道这条方程没有实根。如果你不曾学过虚数,大概答至这里便可了。若果你学了虚数,又应怎样答呢?

你应答,其中是常数,其值为,称为虚数单位

如上题:判别式=,

可记做:,

在古代,数学的应用大多用不着复数,因此人们并没有对复数进行研究。

运算[编辑]

,其中

切记以下的计法不正确:

只能应用于时,因为负数的开方是不连续的。

的高次方会不断作以下的循环:



...

练习[编辑]

是整数,试计算以下的值:

复数的表示:实部、虚部、轭、模[编辑]

所有复数都可以表示成,其中是实数。称为实部,而称为虚部。例如的实部就是,虚部是

一个复数(Conjugates)是的轭就是。如果某个复数是一条二次方程的根,其轭就是另一个根。例如的根就是

复数的轭写作。复数和其轭相乘,即,是一个实数。将复数和轭相加,,亦是一个实数,是其实部的两倍。将复数减去复数的轭相减,,会得到其虚部的两倍。 称为绝对值

练习[编辑]

运算[编辑]

四则运算[编辑]

在四则运算上,复数运算和一般运算无甚差异:

  • 加、减法:实部加实部,虚部加虚部:
  • 乘法:
  • 除法:可将分母“实数化”,方法是分子、分母乘以分母的轭作扩分:

例1:

例2:求之值。

开方[编辑]

要找一个复数的开次幂,可以先求的展开式,再对应欲开次幂的复数的虚部和实数求解。

例:,求

解方程得,因此,

幂、对数[编辑]

参见#幂、对数的计算

复数平面[编辑]

本来卡氏座标要有两个座标来表示位置,当有了复数后我们只需要一个复数就可以表示座标上的位置,用这样方式表示座标平面称为复座标或复平面。复平面由一实轴和虚轴组成。

有序对[编辑]

单位圆[编辑]

欧拉公式[编辑]

等式称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula)。 当x为π时, 这是一道被誉为美妙无比的式子,因等式将数学内五个极重要的数:,1,0,连起来.

幂、对数的计算[编辑]

棣美弗公式[编辑]

几何上的应用[编辑]

向量[编辑]

复数向量是表示在复平面上的向量

向量z=

在实轴上的正射影长为a,在虚轴上的正射影长为b

长度为

变换[编辑]

位移[编辑]

旋转[编辑]

例子[编辑]

凡·奥贝尔定理的证明[编辑]

高斯整数、艾森斯坦整数[编辑]

质数[编辑]

练习解答[编辑]

练习一[编辑]

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