复数

复数（Complex number），是一种“复合的数”，由实数和虚数单位 $i$ 所组成。所有的复数都可表达成 $a + b i$ 。

虚数单位

为何需要虚数单位

解方程： $0.5 x^{2} - 6 x + 55.5 = 0$

从以上一元二次方程的判别式 $b^{2} - 4 a c = 36 - 4 (0.5) (55.5) = 36 - 111 = - 75$ 中，我们可以知道这条方程没有实根。如果你不曾学过虚数，大概答至这里便可了。若果你学了虚数，又应怎样答呢？

你应答 $x = i$ 或 $- i$ ，其中 $i$ 是常数，其值为 $\sqrt{- 1}$ ，称为虚数单位。

如上题：判别式= $36 - 111 = - 75$ ， $x = \frac{6 + \sqrt{- 75}}{1}$ , $\frac{6 - \sqrt{- 75}}{1}$

可记做： $x = 6 + 5 \sqrt{3} i$ , $6 - 5 \sqrt{3} i$

在古代，数学的应用大多用不着复数，因此人们并没有对复数进行研究。

运算

\sqrt{- 9} = 3 i

\sqrt{- 2} = \sqrt{2} i

\sqrt{- x} = \sqrt{x} i

，其中

x \geq 0

\sqrt{- 9} \times \sqrt{- 2} = 3 i \times \sqrt{2} i = - \sqrt{18}

切记以下的计法不正确：

\sqrt{- 9} \times \sqrt{- 2} = \sqrt{(- 9) (- 2)} = \sqrt{18}

。

$\sqrt{x} \times \sqrt{y} = \sqrt{x y}$ 只能应用于 $x, y \geq 0$ 时，因为负数的开方是不连续的。

$i$ 的高次方会不断作以下的循环：

i^{0} = 1

i^{1} = i

i^{2} = - 1

i^{3} = - i

i^{4} = 1

i^{5} = i

i^{6} = - 1

i^{7} = - i

...

练习

若 $n$ 是整数，试计算以下的值：

$i^{4 n}$
$i^{4 n + 1}$
$i^{4 n + 2}$
$i^{4 n + 3}$

复数的表示：实部、虚部、轭、模

所有复数都可以表示成 $a + b i$ ，其中 $a, b$ 是实数。 $a$ 称为实部，而 $b$ 称为虚部。例如 $3 + 4 i$ 的实部就是 $3$ ，虚部是 $4$ 。

一个复数 $a + b i$ 的轭（Conjugates）是 $a - b i$ ， $3 + 4 i$ 的轭就是 $3 - 4 i$ 。如果某个复数是一条二次方程的根，其轭就是另一个根。例如 $x^{2} - 6 x + 25 = 0$ 的根就是 $3 + 4 i$ 和 $3 - 4 i$ 。

复数 $z$ 的轭写作 $\bar{z}$ 。复数和其轭相乘，即 $z \times \bar{z} = (a + b i) (a - b i) = a (a) + a (b i) - a (b i) - (b i) (b i) = a^{2} + b^{2}$ ，是一个实数。将复数和轭相加， $z + \bar{z} = (a + b i) + (a - b i) = 2 a$ ，亦是一个实数，是其实部的两倍。将复数减去复数的轭相减， $z - \bar{z} = (a + b i) - (a - b i) = 2 b i$ ，会得到其虚部的两倍。 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 称为 $a + b i$ 的模或绝对值。

练习

运算

四则运算

在四则运算上，复数运算和一般运算无甚差异：

加、减法：实部加实部，虚部加虚部： $(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$
乘法： $(a + b i) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b i d i = a c + b d i^{2} + (a d + b c) i = (a c - b d) + (a d + b c) i$
除法：可将分母“实数化”，方法是分子、分母乘以分母的轭作扩分： $\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) (c - d i)}{(c + d i) (c - d i)} = \frac{(a c + b d) + (b c - a d) i}{c^{2} + d^{2}}$

例１： $\frac{(1 - 2 i) (3 + 4 i) - (5 + 6 i)}{7 + 8 i} = \frac{11 - 2 i - (5 + 6 i)}{7 + 8 i}$ $= \frac{6 - 8 i}{7 + 8 i} = \frac{(6 - 8 i) (7 - 8 i)}{(7 + 8 i) (7 - 8 i)} = \frac{- 22 - 104 i}{113} = - \frac{22 + 104 i}{113}$

例２：求 $36 + 111 i^{2}$ 之值。 $i^{2} = - 1$ ， $36 + 111 i^{2} = 36 - 111 = - 75$

开方

要找一个复数的开 $n$ 次幂，可以先求 $(a + b i)^{n}$ 的展开式，再对应欲开 $n$ 次幂的复数的虚部和实数求解。

例： $x^{2} = i$ ，求 $x$ 。

(a + b i)^{2} = a^{2} + 2 a b i + (b i)^{2} = (a^{2} - b^{2}) + (2 a b) i

i = 0 + 1 i

a^{2} - b^{2} = 0; 2 a b = 1

解方程得 $a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $a = b = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，因此， $x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$ 或 $x = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$

幂、对数

参见#幂、对数的计算。

复数平面

本来卡氏座标要有两个座标来表示位置，当有了复数后我们只需要一个复数就可以表示座标上的位置，用这样方式表示座标平面称为复座标或复平面。复平面由一实轴和虚轴组成。

有序对

单位圆

欧拉公式

等式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ 称为复数的欧拉公式（Euler's complex number formula）。当x为π时, $e^{i π} + 1 = 0$ 这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数： $e$ ， $i$ ， $π$ ，１，０，连起来.

幂、对数的计算

棣美弗公式

几何上的应用

向量

复数向量是表示在复平面上的向量

向量z= $a + b i$

在实轴上的正射影长为a，在虚轴上的正射影长为b

长度为 $| z | = \sqrt{(a^{2} + b^{2})}$

变换

位移

旋转

例子

凡·奥贝尔定理的证明

高斯整数、艾森斯坦整数

质数

练习解答

练习一

1
$i$
-1
$- i$