复数(Complex number),是一种“复合的数”,由实数和虚数单位
所组成。所有的复数都可表达成
。
- 解方程:
![{\displaystyle 0.5x^{2}-6x+55.5=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9f85e09af32025c775609e9186a13cbc6d3a76)
从以上一元二次方程的判别式
中,我们可以知道这条方程没有实根。如果你不曾学过虚数,大概答至这里便可了。若果你学了虚数,又应怎样答呢?
你应答
或
,其中
是常数,其值为
,称为虚数单位。
如上题:判别式=
,
,
可记做:
,
在古代,数学的应用大多用不着复数,因此人们并没有对复数进行研究。
![{\displaystyle {\sqrt {-9}}=3i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ee9965c94dea9bd097b60c257163237b3bc99b)
![{\displaystyle {\sqrt {-2}}={\sqrt {2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ea6fe6ef78b14f777d1867a4fc3070ae08691d)
,其中![{\displaystyle x\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2608e2b392b079f5b763f27bf52883dbee3b64a)
![{\displaystyle {\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}=3i\times {\sqrt {2}}i=-{\sqrt {18}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2133a10c71beb2d951dde5aadbe46c6f9a483238)
切记以下的计法不正确:
。
只能应用于
时,因为负数的开方是不连续的。
的高次方会不断作以下的循环:
![{\displaystyle i^{0}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e87ac3911a2352de6c8108a0a39a58af5ea4ab)
![{\displaystyle i^{1}=i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb684acc072bec5f8302d20419b84eec00692d15)
![{\displaystyle i^{2}=-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a42e29c3a72834bd1a11680212c617f8b52916d)
![{\displaystyle i^{3}=-i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce18d5d5872b6f8cb24bed295faac15950ec051)
![{\displaystyle i^{4}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23408848d55c906eb0e0ad7d2684f5af4066c7c1)
![{\displaystyle i^{5}=i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f3fc2c5e50eacd65dbe3973d001e741cc87ccd)
![{\displaystyle i^{6}=-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7f9ab8573ab4669db7022edc7eab62bef4a471)
![{\displaystyle i^{7}=-i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d0e17c55ca7e1f4c5930e6c0282d5ae2179f67)
- ...
若
是整数,试计算以下的值:
![{\displaystyle i^{4n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb94f921571df92356b1f8de0747e3ca2857b2f5)
![{\displaystyle i^{4n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58dd4614a7bdc9cd378c0b2c455db7611ad7b94)
![{\displaystyle i^{4n+2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6e032d4834bc6668c68fe5cc5d2bf649c47852)
![{\displaystyle i^{4n+3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f13dc562a25f06ad6842f1f51bee73badd5c91)
所有复数都可以表示成
,其中
是实数。
称为实部,而
称为虚部。例如
的实部就是
,虚部是
。
一个复数
的轭(Conjugates)是
,
的轭就是
。如果某个复数是一条二次方程的根,其轭就是另一个根。例如
的根就是
和
。
复数
的轭写作
。复数和其轭相乘,即
,是一个实数。将复数和轭相加,
,亦是一个实数,是其实部的两倍。将复数减去复数的轭相减,
,会得到其虚部的两倍。
称为
的模或绝对值。
在四则运算上,复数运算和一般运算无甚差异:
- 加、减法:实部加实部,虚部加虚部:
![{\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a463db44a55680693e2790a6f351067e9bddbb)
- 乘法:
![{\displaystyle (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^{2}+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba54773e81569112d85d24db8419d6beb5765d70)
- 除法:可将分母“实数化”,方法是分子、分母乘以分母的轭作扩分:
![{\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0737a6e37ec6de303845d6a7385231256890b7d5)
例1:
例2:求
之值。
,
要找一个复数的开
次幂,可以先求
的展开式,再对应欲开
次幂的复数的虚部和实数求解。
例:
,求
。
![{\displaystyle (a+bi)^{2}=a^{2}+2abi+(bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+(2ab)i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7d71bf2ca78f2336e8846cef048d216c1c56f8)
![{\displaystyle i=0+1i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5925e005ab881700018bc2ad58d0573e53634d2)
![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=0;2ab=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d1efa16333db5dc35e016ce3e7ba0d5d2a3371)
解方程得
或
,因此,
或
参见#幂、对数的计算。
本来卡氏座标要有两个座标来表示位置,当有了复数后我们只需要一个复数就可以表示座标上的位置,用这样方式表示座标平面称为复座标或复平面。复平面由一实轴和虚轴组成。
等式
称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula)。
当x为π时,
这是一道被誉为美妙无比的式子,因等式将数学内五个极重要的数:
,
,
,1,0,连起来.
复数向量是表示在复平面上的向量
向量z=
在实轴上的正射影长为a,在虚轴上的正射影长为b
长度为
- 1
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
- -1
![{\displaystyle -i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fddb9f89a520937db3a8821575068cdcc76f60)