複數(Complex number),是一種「複合的數」,由實數和虛數單位所組成。所有的複數都可表達成。
- 解方程:
從以上一元二次方程的判別式中,我們可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數,大概答至這裏便可了。若果你學了虛數,又應怎樣答呢?
你應答或,其中是常數,其值為,稱為虛數單位。
如上題:判別式=,,
可記做:,
在古代,數學的應用大多用不著複數,因此人們並沒有對複數進行研究。
- ,其中
切記以下的計法不正確:
- 。
只能應用於時,因為負數的開方是不連續的。
的高次方會不斷作以下的循環:
- ...
若是整數,試計算以下的值:
所有複數都可以表示成,其中是實數。稱為實部,而稱為虛部。例如的實部就是,虛部是。
一個複數的軛(Conjugates)是,的軛就是。如果某個複數是一條二次方程的根,其軛就是另一個根。例如的根就是和。
複數的軛寫作。複數和其軛相乘,即,是一個實數。將複數和軛相加,,亦是一個實數,是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減,,會得到其虛部的兩倍。
稱為的模或絕對值。
在四則運算上,複數運算和一般運算無甚差異:
- 加、減法:實部加實部,虛部加虛部:
- 乘法:
- 除法:可將分母「實數化」,方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分:
例1:
例2:求之值。
,
要找一個複數的開次冪,可以先求的展開式,再對應欲開次冪的複數的虛部和實數求解。
例:,求。
解方程得或,因此,或
參見#冪、對數的計算。
本來卡氏座標要有兩個座標來表示位置,當有了複數後我們只需要一個複數就可以表示座標上的位置,用這樣方式表示座標平面稱為復座標或復平面。復平面由一實軸和虛軸組成。
等式稱為複數的歐拉公式(Euler's complex number formula)。
當x為π時,
這是一道被譽為美妙無比的式子,因等式將數學內五個極重要的數:,,,1,0,連起來.
複數向量是表示在復平面上的向量
向量z=
在實軸上的正射影長為a,在虛軸上的正射影長為b
長度為
- 1
- -1