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複數可定義為兩實數
的序對,其中此序對滿足以下規律:
![{\displaystyle \left.(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09843a9eb6705eda85789798c3e4a59a1859e45a)
![{\displaystyle \left.(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72a1698518e6ba9a7949138a58923af43eb0b7f)
一般複數採用符號i,通常定義
,或
,而由此定義出發所構成的數
亦滿足以上所定義的序對的規律
複數數域採用符號
對於複數
有以下的性質:
- 加法交換律
![{\displaystyle \left.u+v=v+u\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ccf93cdd2bcf54bc4fcda6cec4a4802f09d00cb)
- 加法結合律
![{\displaystyle \left.(u+v)+w=u+(v+w)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a07801273eb172f30c58d4a176fa3515f43f6b4)
- 乘法交換律
![{\displaystyle \left.uv=vu\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a791fa9916c40351245e64e4467f659cc5dcf09)
- 乘法結合律:
![{\displaystyle \left.u(vw)=(uv)w\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd011374c6b3f802b98f676c93451510cd67d63)
- 分配律:
;![{\displaystyle \left.u(v+w)=uv+uw\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c41ca3e41780a66452bbf210f6f948ac586536a)
注意:不能比對兩個複數的大小,因為大小關係是定義在實數之上的一種關係,也因此複數沒有正負之分。
對於任意複數z,可表為
,其中
,
以此表示法表示的複數有性質如下:
當n為實數,z為以上所講的複數時
這個性質在解任意複數(包括實數在內)z的n次方根時相當地有用
另一方面,複數可表示成以e為底指數函數(歐拉公式):
根据泰勒公式,
和
以及
有:
![{\displaystyle \Rightarrow \left|\alpha \right|e^{i\beta }=\left|\alpha \right|\cos(\beta )+i\sin(\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c1e03fa805b6199652fd844136cb95630c9177)
若
,设
,
则:
![{\displaystyle z^{n}=r^{n}e^{i\cdot n\theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325d33efd8cdb2ddf7f8c1f1308deaf9e1444c8d)
(其中
)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Book_important2.svg/45px-Book_important2.svg.png) |
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