邏輯通路/孟氏定理

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MenelausTheorem (1).png

假設 A、B、C 為(平面上或空間中)不共線三點,D、E、F 分別為直線 上異於 A、B、C 的三點,則我們可以推得下列的事實:

D、E、F 三點共線

證明[编辑]

Menelaus Theorem (2).png
  • 我們先證明如果 D、E、F 三點共線的話,則上面所提的三個「有向比」的乘積為 -1
如右圖,我們從 A、B、C 分別作垂線到直線 DEF 上。假設它們的垂足分別為 G、H、I,根據「有向比性質 (1)」,我們可以得知:
所以,
   
=  
=     ..... 根據「有向比性質 (2)
= (-1)(-1)(-1)  
= -1  
因此,我們證明了三個「有向比」的乘積為 -1

  • 其次,我們來證明:如果三個「有向比」的乘積為 -1,則 D、E、F 三點共線
首先,我們考慮直線
直線 可能與直線 平行或相交,所以底下我們分成兩個路徑來思考:
(1) 直線 與直線 平行
(2) 直線 與直線 相交

參考資料[编辑]

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